1、插值的基本定义
设函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b]上有定义，且已知它在
n
+
1
n+1
n+1个互异点
a
≤
x
0
<
x
1
<
.
.
.
<
x
n
≤
b
a\leq x_0<x_1<...<x_n\leq b
a≤x0<x1<...<xn≤b上的函数值
y
0
,
y
1
,
.
.
.
,
y
n
y_0,y_1,...,y_n
y0,y1,...,yn，若存在一个简单函数
p
(
x
)
p(x)
p(x)，使得
p
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
0
,
1
,
2
,
.
.
,
n
p(x_i)=y_i,i=0,1,2,..,n
p(xi)=yi,i=0,1,2,..,n
成立，则称
p
(
x
)
p(x)
p(x)为
f
(
x
)
f(x)
f(x)插值函数。显然，除上述已知
n
+
1
n+1
n+1个互异点外，在其他位置上，插值函数
p
(
x
)
p(x)
p(x)和原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)之间并没有明确关系，所以插值总是有误差的。不过，若对原函数和插值函数增加一定的约束，则可能使两者保持一致。下面讨论代数插值情况。
设
p
(
x
)
p(x)
p(x)是次数不超过
n
n
n的代数多项式，即
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
1
x
+
a
0
(1)
p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 x+a_0 \tag{1}
p(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0(1)
该函数满足
p
(
x
i
)
=
y
i
p(x_i)=y_i
p(xi)=yi，则称
p
(
x
)
p(x)
p(x)为原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的
n
n
n次代数插值多项式。该种插值称为代数插值，代数插值的几何意义，其实就是找一条过上述
n
+
1
n+1
n+1个互异点的
n
n
n次代数曲线来近似表示曲线
f
(
x
)
f(x)
f(x)。
可以证明，上述
n
n
n次插值函数有且只有一个。显然，将
p
(
x
i
)
=
y
i
p(x_i)=y_i
p(xi)=yi的条件代入(1)式，得到下面的
n
+
1
n+1
n+1阶线性方程组
{
a
0
+
a
1
x
0
+
a
2
x
0
2
+
.
.
.
+
a
n
x
0
n
=
y
0
a
0
+
a
1
x
1
+
a
2
x
1
2
+
.
.
.
+
a
n
x
1
n
=
y
1
⋮
a
0
+
a
1
x
n
+
a
2
x
n
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
n
=
y
n
→
[
1
x
0
.
.
.
x
0
n
1
x
1
.
.
.
x
1
n
⋮
⋮
.
.
.
⋮
1
x
n
.
.
.
x
n
n
]
[
a
0
a
1
⋮
a
n
]
=
[
y
0
y
1
⋮
y
n
]
\left\{\begin{matrix} a_0+a_1 x_0+a_2 x_0^2+...+a_nx_0^n=y_0 \\ a_0+a_1 x_1+a_2 x_1^2+...+a_nx_1^n=y_1 \\ \vdots \\ a_0+a_1 x_n+a_2 x_n^2+...+a_nx_n^n=y_n \\ \end{matrix}\right. \rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 & x_0 & ... & x_0^n \\ 1 & x_1 & ... & x_1^n \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ 1 & x_n & ... & x_n^n \\ \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a^n \\ \end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y^n \\ \end{matrix}\right]
⎩
⎨
⎧a0+a1x0+a2x02+...+anx0n=y0a0+a1x1+a2x12+...+anx1n=y1⋮a0+a1xn+a2xn2+...+anxnn=yn→
11⋮1x0x1⋮xn............x0nx1n⋮xnn
a0a1⋮an
=
y0y1⋮yn
显然，该线性方程组的行列式为
∣
1
x
0
.
.
.
x
0
n
1
x
1
.
.
.
x
1
n
⋮
⋮
.
.
.
⋮
1
x
n
.
.
.
x
n
n
∣
=
∏
i
=
1
n
∏
j
=
0
i
−
1
(
x
i
−
x
j
)
\begin{vmatrix} 1 & x_0 & ... & x_0^n \\ 1 & x_1 & ... & x_1^n \\ \vdots & \vdots & ... & \vdots \\ 1 & x_n & ... & x_n^n \\ \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^n \prod_{j=0}^{i-1}(x_i-x_j)
11⋮1x0x1⋮xn............x0nx1n⋮xnn
=i=1∏nj=0∏i−1(xi−xj)
显然，由于
x
i
x_i
xi互不相同，所以上式不为0，所以方程系数
a
0
,
.
.
.
,
a
n
a_0,...,a_n
a0,...,an可被唯一确，即该插值多项式有且只有一个。
插值问题的关键是求解插值多项式，显然利用上述线性方程组，可直接求得多项式系数的最小二乘解。但计算过程涉及矩阵求逆，计算量较大，后面将探究新的计算方法。
2、拉格朗日插值法
2.1、线性插值情况
我们从一次多项式开始逐步推导。此时有
p
(
x
i
)
=
y
i
,
(
i
=
0
,
1
)
p(x_i)=y_i,(i=0,1)
p(xi)=yi,(i=0,1)，显然，可过这两个点作一条直线，目的是用直线
p
(
x
)
p(x)
p(x)来近似表示原函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)，这种插值称为线性插值。该直线的两点式方程可表示为
p
(
x
)
=
y
0
x
−
x
1
x
0
−
x
1
+
y
1
x
−
x
0
x
1
−
x
0
=
l
0
(
x
)
y
0
+
l
1
(
x
)
y
1
=
∑
k
=
0
1
l
k
(
x
)
y
k
p(x)=y_0 \frac{x-x_1}{x_0-x_1}+y_1 \frac{x-x_0}{x_1-x_0}=l_0(x)y_0+l_1(x)y_1=\sum_{k=0}^1 l_k(x)y_k
p(x)=y0x0−x1x−x1+y1x1−x0x−x0=l0(x)y0+l1(x)y1=k=0∑1lk(x)yk
其中，
l
0
(
x
)
=
x
−
x
1
x
0
−
x
1
l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}
l0(x)=x0−x1x−x1称为点
x
0
x_0
x0的一次插值基函数,
l
1
(
x
)
=
x
−
x
0
x
1
−
x
0
l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}
l1(x)=x1−x0x−x0称为点
x
1
x_1
x1的一次插值基函数, 显然
p
(
x
)
p(x)
p(x)是
l
0
(
x
)
l_0(x)
l0(x)和
l
1
(
x
)
l_1(x)
l1(x)的线性组合。另外，上述插值基函数满足
l
j
(
x
i
)
=
δ
i
j
=
{
1
,
i
=
j
0
,
i
≠
j
(2)
l_j(x_i)=\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1,i=j \\ 0,i\neq j \end{matrix}\right. \tag{2}
lj(xi)=δij={1,i=j0,i=j(2)
2.2、二次插值情况
此时已知
f
(
x
)
f(x)
f(x)上面三个互异点
(
x
i
,
y
i
)
,
i
=
0
,
1
,
2
(x_i,y_i),i=0,1,2
(xi,yi),i=0,1,2，要求构造一个不超过2次的代数多项式
p
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
p(x)=ax^2+bx+c
p(x)=ax2+bx+c，满足
p
(
x
i
)
=
y
i
,
(
i
=
0
,
1
,
2
)
p(x_i)=y_i,(i=0,1,2)
p(xi)=yi,(i=0,1,2)。为便于求解，我们可将
p
(
x
)
p(x)
p(x)重新整理为
p
(
x
)
=
A
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
+
B
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
2
)
+
C
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
p(x)=A(x-x_1)(x-x_2)+B(x-x_0)(x-x_2)+C(x-x_0)(x-x_1)
p(x)=A(x−x1)(x−x2)+B(x−x0)(x−x2)+C(x−x0)(x−x1)，将三个已知点坐标代入，可求得
A
=
y
0
(
x
0
−
x
1
)
(
x
0
−
x
2
)
B
=
y
1
(
x
1
−
x
0
)
(
x
1
−
x
2
)
C
=
y
2
(
x
2
−
x
0
)
(
x
2
−
x
1
)
A=\frac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\\ B=\frac{y_1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\\ C=\frac{y_2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}
A=(x0−x1)(x0−x2)y0B=(x1−x0)(x1−x2)y1C=(x2−x0)(x2−x1)y2
此时可得到插值函数为
p
(
x
)
=
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
0
−
x
1
)
(
x
0
−
x
2
)
y
0
+
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
2
)
(
x
1
−
x
0
)
(
x
1
−
x
2
)
y
1
+
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
2
−
x
0
)
(
x
2
−
x
1
)
y
2
=
l
0
(
x
)
y
0
+
l
1
(
x
)
y
1
+
l
2
(
x
)
y
2
=
∑
j
=
0
2
l
j
(
x
)
y
j
p(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}y_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}y_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}y_2\\ =l_0(x)y_0+l_1(x)y_1+l_2(x)y_2=\sum_{j=0}^2 l_j(x)y_j
p(x)=(x0−x1)(x0−x2)(x−x1)(x−x2)y0+(x1−x0)(x1−x2)(x−x0)(x−x2)y1+(x2−x0)(x2−x1)(x−x0)(x−x1)y2=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=j=0∑2lj(x)yj
其中，
l
j
(
x
)
=
∏
i
=
0
,
i
≠
j
2
x
−
x
i
x
j
−
x
i
l_j(x)=\prod_{i=0,i\neq j}^2 \frac{x-x_i}{x_j-x_i}
lj(x)=∏i=0,i=j2xj−xix−xi，显然
l
j
(
x
)
l_j(x)
lj(x)同样具有(2)式所示的性质。该插值称为二次插值或抛物线插值。
2.3、n次插值情况
此时，仿照二次插值的构造方法，令
p
(
x
)
=
l
0
(
x
)
y
0
+
.
.
.
+
l
n
(
x
)
y
n
=
∑
j
=
0
n
l
j
(
x
)
y
j
p(x)=l_0(x)y_0+...+l_n(x)y_n=\sum_{j=0}^n l_j(x)y_j
p(x)=l0(x)y0+...+ln(x)yn=j=0∑nlj(x)yj
其中，
l
j
(
x
)
l_j(x)
lj(x)是
n
n
n次多项式，称为插值基函数，它满足条件
l
j
(
x
i
)
=
δ
i
j
=
{
1
,
i
=
j
0
,
i
≠
j
，
(
i
,
j
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
)
(2)
l_j(x_i)=\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1,i=j \\ 0,i\neq j \end{matrix}\right. ，(i,j=0,1,...,n) \tag{2}
lj(xi)=δij={1,i=j0,i=j，(i,j=0,1,...,n)(2)
显然，此时问题归结为构造满足条件的
n
n
n次多项式
l
j
(
x
)
l_j(x)
lj(x)。事实上，由
l
j
(
x
)
=
0
,
i
≠
j
l_j(x)=0,i\neq j
lj(x)=0,i=j，知道
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
j
−
1
,
x
j
+
1
,
.
.
.
,
x
n
x_0,x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n
x0,x1,...,xj−1,xj+1,...,xn都是
l
j
(
x
)
l_j(x)
lj(x)的零点，所以可设
l
j
(
x
)
=
A
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
.
.
.
.
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
l_j(x)=A(x-x_0)(x-x_1)....(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})...(x-x_n)
lj(x)=A(x−x0)(x−x1)....(x−xj−1)(x−xj+1)...(x−xn)。其中，
A
A
A为待定系数，由条件
l
j
(
x
j
)
=
1
l_j(x_j)=1
lj(xj)=1，可确定
A
=
1
(
x
j
−
x
0
)
(
x
j
−
x
1
)
.
.
.
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
.
.
.
(
x
j
−
x
n
)
A=\frac{1}{(x_j-x_0)(x_j-x_1)...(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})...(x_j-x_n)}
A=(xj−x0)(xj−x1)...(xj−xj−1)(xj−xj+1)...(xj−xn)1，所以
l
j
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
.
.
.
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
(
x
j
−
x
0
)
.
.
.
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
.
.
.
(
x
j
−
x
n
)
=
∏
i
=
0
,
i
≠
j
n
x
−
x
i
x
j
−
x
i
l_j(x)=\frac{(x-x_0)...(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})...(x-x_n)}{(x_j-x_0)...(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})...(x_j-x_n)}=\prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{x-x_i}{x_j-x_i}
lj(x)=(xj−x0)...(xj−xj−1)(xj−xj+1)...(xj−xn)(x−x0)...(x−xj−1)(x−xj+1)...(x−xn)=i=0,i=j∏nxj−xix−xi
由此可得
p
(
x
)
=
∑
j
=
0
n
l
j
(
x
)
y
j
=
∑
j
=
0
n
y
j
(
∏
i
=
0
,
i
≠
j
n
x
−
x
i
x
j
−
x
i
)
(3)
p(x)=\sum_{j=0}^n l_j(x)y_j=\sum_{j=0}^n y_j(\prod_{i=0,i\neq j}^n \frac{x-x_i}{x_j-x_i})\tag{3}
p(x)=j=0∑nlj(x)yj=j=0∑nyj(i=0,i=j∏nxj−xix−xi)(3)
我们称形如(3)式的插值公式为拉格朗日插值。
未完待续。。。。
未完待续。。。。
未完待续。。。。
