文章目录
- 1. 红黑树的概念
- 2. 红黑树的性质
- 3. 红黑树节点定义
- 4. 红黑树的插入操作
- 5. 红黑树的验证
- 6. 红黑树与AVL树的比较
- 7. 红黑树模拟实现STL中的map与set
1. 红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
2. 红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？
最短路径：全黑（如果没有全黑的，就是红节点最少的那条路径）
最长路径：一黑一红间隔
并且对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。可以得出：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍
3. 红黑树节点定义
enum Colour
{
RED,
BLACK,
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
: _kv(kv)
, _parent(nullptr)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _col(RED)// 选择更好搞定的
{}
};
思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？
- 新增节点是红色，可能破坏规则3【如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的】
- 新增节点是黑色，一定破坏规则4【对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点】，并且规则4很难维护（要牵扯到更多节点）
4. 红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
-
按照二叉搜索的树规则插入新节点
-
检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
1️⃣情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
将g改为黑色的原因：为了不破坏规则4【对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点】。这棵树有可能是局部子树，原本它的两条路径上都有1个黑结点，如今将u和p变黑，这两条路径上就分别多了一个黑结点，违反规则4，此时把g改为黑色能避免这种问题。
解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。
不关心左右关系（p、u是g的左还是右不影响；cur是p的左还是右也没关系），因为只变色，不旋转
2️⃣情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
u有两种情况：
- 如果u不存在。右只有一个黑，左也要只有一个黑，左不能有新的黑，左的高度不能大于2，所以cur是新增红结点。变色：新根变黑（对向上的数结点没影响了）；g变红（维持黑的数量）
- 如果u存在且为黑。cur一定不是新增，否则cur插入前该树不符合规则4。由规则3得：cur原本是黑的，是由情况一的处理方式变成红色的
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
p、g变色–p变黑，g变红
3️⃣情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
情况三和情况二的区别：
p是g的左，cur是p的左，是情况二——单旋
p是g的左，cur是p的右，是情况三——双旋
u有两种情况：
- 如果u不存在。右只有一个黑，左也要只有一个黑，左不能有新的黑，左的高度不能大于2，所以cur是新增红结点。变色：新根变黑（对向上的数结点没影响了）；g变红（维持黑的数量）
- 如果u存在且为黑。cur一定不是新增，否则cur插入前该树不符合规则4。由规则3得：cur原本是黑的，是由情况一的处理方式变成红色的
就只是跟情况二的左右关系交换了一下
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；
相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转
则转换成了情况2
//按搜索二叉树规则插入
//更新平衡因子，旋转使其平衡
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
return false;
}
cur = new Node(kv);
cur->_col = RED;
if (kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 存在连续红色节点
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;// parent是红的，一定存在grandparent
if (parent == grandfather->_right)// 区分左右
{
Node* uncle = grandfather->_left;
// 情况一
if (uncle && uncle->_col == RED)// 叔叔存在且为红
{
// 变色
parent->_col = BLACK;
uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 向上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else// 叔叔不存在 或者 叔叔存在且为黑
{
// 情况二：（直线）
// g p
// p -> g c
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
// 情况三：（折线）
// g c
// p -> g p
// c
else
{
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
Node* uncle = grandfather->_right;
// 情况一
if (uncle && uncle->_col == RED)// 叔叔存在且为红
{
// 变色
parent->_col = BLACK;
uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 向上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else// 叔叔不存在 或者 叔叔存在且为黑
{
// 情况二：（直线）
// g p
// p -> c g
// c
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
// 情况三：（折线）
// g c
// p -> p g
// c
else
{
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;// 情况一改变根之后，一定要记得把根变为黑
return true;
}
5. 红黑树的验证
红黑树的检测分为两步：
- 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
- 检测其是否满足红黑树的性质
bool _IsValidRBTree(Node* root, size_t k, const size_t blackCount)
{
if (nullptr == root)
{
if (blackCount != k)
{
cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (BLACK == root->_col)
++k;
// 检查连续红节点：遇到红色节点检查父亲
if (RED == root->_col && root->_parent && RED == root->_parent->_col)
{
cout << "违反性质三：存在连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount)
&& _IsValidRBTree(root->_left, k, blackCount);
}
bool IsBalanceTree()
{
// 检查规则
Node* pRoot = _root;
if (pRoot == nullptr)
return true;
if (pRoot->_col != BLACK)
{
cout << "根节点不是黑的" << endl;
return false;
}
// 检查每个路径黑节点数量：求最左路径，比较基准值
size_t blackCount = 0;
Node* pCur = pRoot;
while (pCur)
{
if (BLACK == pCur->_col)
blackCount++;
pCur = pCur->_left;
}
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
6. 红黑树与AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多
7. 红黑树模拟实现STL中的map与set
具体请看我的gitee吧
链接：https://gitee.com/symng/cpp/tree/master/map_set/map_set
