趣味三角——第1章—

平面角是平面内相交但不在一条直线上的两条直线之间的倾角(A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.)。

——Euclid(欧几里得), 元素(The Elements)，定义8。

几何实体分为两类：一类是严格定性的实体，例如，点、线、面，另一种是可以指定数值、可度量的实体。后一类属于线段，其度量就是它的长度；与其面积相关联的平面(planar)区域；以及一个旋转(rotation)，由它的角度(angle)度量。

在角度这个概念上，存在某种歧义性(ambiguity)。因为它既表述了两条相交直线之间“分离(separation)”的定性概念，又表述了这种分离的数值——角度的度量。(注意：对于两点之间的类似(analogous)“分离”，并无歧义性，因为短语“线段(line segment)”和“长度(length)”使得这种区别泾渭分明。) 幸运的是，我们不必担心这种歧义性，因为三角学(trigonometry)仅关注线段和角度的定性方面。[1]

“度(degree)”这个角度度量的通用单位，据信起源于“巴比伦人(Babylonians)”。人们普遍认为，他们将圆分成360等份是基于这个数字与一年的时长365天接近。另一个理由可能是基于这个事实——一个圆可以很自然地分成六等份，每个部分都面对着(subtending)一个长度等于半径(radius)的弦(chord)(见图4)。然而，并不存在排它性的证据来支持这些假说(hypotheses),度量圆的角度的“360度表征系统”的准确起源可能将永远是一个迷。[2] 无论如何，这个度量系统非常适合巴比伦的六十进制(sexagesimal)(以60为基数)计数系统，其后来被古希腊人采用并被Ptolemy用于他的和弦表(table of chords)(见第2章)。

-------------------------------------------图4 圆内接正六边形 -----------------------------------------------

60进制作为一个计数系统早已被废弃，但是，将一个圆周角划分成360等分的这种划分法存活了下来——不仅用于角度度量，还用于将一小时划分成60分钟，一分钟划分成60秒。这种方法在我们的日常生活中根深蒂固，即便是公制的(metric)优势(ascendancy)也无法消除它，更有，Florian Cajori在他的<< A History of Mathematics >>(数学史，1893年出版)中指出，这种情况，在今天仍旧如此：“No decimal division of angles is at the present time threatened with adoption, not even in France [where the metric system originated](目前，角度的小数划分的采用没有受到威胁，即便在法国[公制起源地]也是如此)。”(注：角度的小数划分，一度=60分，一分=60秒，仍然是60进制的关系。)[3] 尽管如此，很多手持式计算器都有一个“grad (百分度)”选项，其中，1直角等于100个“百分度(gradians)”，并且百分度的小数部分按十进制计算。

“度(degree)”(度：汉对应词义为“按一定的计量标准划分的单位”)这个词起源于古希腊。按照数学历史学家David Eugene Smith的说法，他们使用的单词“μοιρα(moira)”,阿拉伯人(Arabs)将其翻译成“daraja”(相当于希伯来语(Hebrew)“dar’ggah”,阶梯的一个台阶或者尺度上的一个刻度)；这反过来又成了拉丁语“de gradus”,从此，变成了单词“degree”。古希腊称一度的六十分之一为第一份，第一份的第六十分之一为第二份，等等。在拉丁语中，前者称为“pars minuta prima”(第一小份)，后者称为“pars minuta secunda” (第二小份)，从这里，分别衍生出我们的分(minute)和秒(second)。[4]

----------------------图5 角的弧度度量----------------------------

在最近的时代，弧度(radian)或圆度量(circular measure)已被普遍采用为角度度量的自然单位。1弧度是指这样的一个大小的角：以圆心为顶点向圆周辐射，其正对向的沿圆周环绕(circumference)一个半径长度的圆弧所对应的角(见下图5)。因为沿着圆周绕一个完整的圈是2π个半径(radii,单数radius)(2π≈2.68, π表示圆周率，即圆的周长与其直径的比值，即π=s/(2r)，因此周长s=2πr),且根据定义，每个半径(或者说每个圆弧，不管半径大小)都对应一个大小为1弧度的中心角，因此，我们有

360° = 2π个弧度；

因此，

1个弧度 = $\frac{360^{\circ}}{2\pi }$ ≈ 57.29° 。

我们经常听说(oft-heard statement)，弧度比起度来，是一个更方便的单位，因为它更大，因此，允许我们用更小的数值来表示角度(注：因为1弧度单位比一度更大，因此可以用更小的数值来表示角度值)，事实上完全不是这样。[5] 使用弧度的唯一理由是，它可以简单很多公式。例如，一个角度大小为θ(θ的单位为弧度)的角正对向的弧度长度由公式s = rθ计算得出；但是，如果θ用度来表示，则相应的公式就写成了s = πrθ/180 。类似地，一个角度大小为θ的角对应的圆扇形的面积，用弧度表示为 $A = r^{2}\theta /2$ , ,而用度表示则为 $A = \pi r^{2}\theta /360$ 。[6] 使用弧度消除了(rids)公式中“累赘的(un-wanted)”因子π/180(因此简化了公式)。

甚至还有更重要的原因，事实上，一个极小的角度和它的正弦值(sine)在数值上几乎相等——角度趣小，数值更是接近——这种规律，仅当角度使用弧度表示时成立。例如，使用计算器我们求出1度的正弦值(sin 1°)是0.0174524；但是，如果将1°转换为弧度，我们得到1° = 2π/360° ≈ 0.0174533，因此，这个角度与其正弦值在千分之一的误差范围内一致。对于一个0.5°的角(同时也转换为弧度表示)，在百万分之一的误差范围内一致，等等。事实上，表达式 $\lim_{\theta ->0}\frac{sin \theta }{\theta }=1$

，这使得弧度度量法在微积分中是如此地重要。

“弧度(radian)”这个词，是一个现代创造的复古词(vintage)；在1817年由James Thomson创造(coined),他是著名的物理学家Lord Kelvin(William Thomson)的兄弟；它首次出现于书面是他于1873年在Belfast女王学院(Queen’s College)设置的试题中。[7] 早期的建议拼法形式是“rad”和“radial”。

没有人知道以逆时针(counterclockwise)的意义度量角度的这种惯例(convention)出自哪里。它可能起源于我们熟悉的坐标系统：逆时针旋转90°将我们从正向的x轴带到了正向的y轴，而顺时针旋转90°将我们从正向的x轴带到了负向的y轴。显然，这种选择完全是任意的：假x轴指向左边，或者y轴向下，这种自然的选择就会返过来。甚至连 “时针方向(clockwise)” 这个词也有歧义性：几年前，我看到一则打“逆时针时钟(counterclockwise clock)”的时钟广告，它倒着走，但它显示的时间准确无误(见图6)。出于好奇(Intrigued),我订购了一台挂在厨房，它总是让我们的客人感到困惑(baffle),他们坚信我在跟他们玩某种把戏。

----------------------图6 逆时针时钟----------------------------

下标注释和引文来源：

1. 尽管如此，“角度”作为一个概念的定义，一直存在问题；见Euclid, <<The Elements>>，由Thomas Heath爵士翻译并附有介绍和评论(马里兰州安纳波利斯：圣约翰学院出版社，1947年版)，卷1，第176–181页。

2. 关于这个学科，参见David Eugene Smith所著<<History of Mathematics>>,(1925年；New York报告：Dover, 1953年)，卷2，第229–232页，以及Florian Cajori，<<A History of Mathematics>>,(1893年,第二版；New York：Macmillan, 1919年)，第5-6页，一些学者将360度系统归因于(credit)古埃及人；例如，参见Elisabeth Achels的<<Of Time and the Calendar>>(New York: Hermitage House, 1955年),第40页。

3. Cajori , <<History of Mathematics>>,第484页。

4. Smith, <<History of Mathematics>>,卷2，第232页。

5. 例如，在Morris Kline的著作<<Mathematics: A Cultural Approach>>(数学：一种文化方案)(马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，1962 年)，第500页。我们发现这种描述：“The advantage of radians over degrees is simply that it is a more convenient unit. Since an angle of 90° is of the same size as an angle of 1.57 radians, we have to deal only with 1.57 instead of 90 units(弧度胜于度的优点完全在于弧度是更方便的单位。因为一个90°的角与一个1.57弧度的角一样大小，因此仅需处理1.57而不是90个单位)。” 像Kline这样的杰出数学家的这种说法确实令人惊讶。

6. 这些公司可以通过比例考察很容易地加以证明：设一个圆上的弧长s对应的角度为θ，圆周角2π弧度，半径为r，即根据弧度的定义，有2πr/2π = s/θ，据此，我们得到s = rθ，类似的论证可以导出公式 $A=r^{2}\theta /2$ 。