算法设计与分析

计科210X 甘晴void 202108010XXX

前言

这个系列本来想只用一个博客搞定的，谁曾想CSDN对于大批量文字的在线编辑一塌糊涂，感觉走倒车了。只能分成几个博客分别来讲了。后续会有作业-23456。作业重要的是搞懂原因。

第一次作业

<1> 算法分析题1-6

（1）

f(n)	G(n)	answer	备注
f(n)=log(n^2)	g(n)=logn+5	f(n)=θ(g(n))	同阶
f(n)=log(n^2)	g(n)=sqrt(n)	f(n)=O(g(n))	sqrt(n)更高阶
f(n)=n	g(n)=(log^2)n	f(n)=Ω(g(n))	n更高阶
f(n)=nlogn+n	g(n)=logn	f(n)=Ω(g(n))	nlogn+n更高阶
f(n)=10	g(n)=log10	f(n)=θ(g(n))	同阶
f(n)=(log^2)n	g(n)=logn	f(n)=Ω(g(n))	(log^2)n更高阶
f(n)=2^n	g(n)=100n^2	f(n)=Ω(g(n))	2^n更高阶
f(n)=2^n	g(n)=3^n	f(n)=O(g(n))	3^n更高阶

<2> 算法实现题1-1 统计数字问题

洛谷P2602 [ZJOI2010] 数字计数的简化版

▲解题思路

参考思路：https://acmachineoier.blog.luogu.org/solution-p2602

数据量较大，显然不好直接暴力。

分别统计十个数字出现的个数，对于每个数字，再分别统计其在每一位上的出现情况。综合来看，对于每个数字在每一位上出现情况的统计可以称为一次操作。用循环来遍历数字i，用模板变量m（m为1或10的倍数）来控制操作的位置。

对于一次操作，使用取模和整除将原数n分割成三个部分a/b/c。b为操作的位置，a为操作位置之前的数字，c为操作位置之后的数字。例如372869在m=100时，分割的结果为a=372，b=8，c=69。

在i不为0的情况下：

下面我们将用数字n=372869举例。

若b比i大，也就是说这个位置取i之后，前面可以取到a，后面是可以任意取数字的。在m=100时，b=8，若i取6，那么在8前面我可以从0取到372这一共373个数，后面我可以从00到99共100（即m）个。所以这种情况下结果应该有(a + 1) * m。

若b和i相等，也就是说这个位置取i之后，如果前面取到a-1，后面是可以任意取数字的，但前面取到a时，后面有一部分是不可以的。若i取8，那么前面从0到371这一共372个数都是没有问题的，此时后面可以从00到99共100（即m）个，这部分的结果是a*m。但是前面取372时，后面就只能从00到69共70（即c+1）个了，这部分的结果是c+1。合起来一共是a*m+c+1。

若b比i小，也就是说前面只能取到比a小，后面可以随便取。若i取9，那么前面只能从0取到371，372都不行。但是好在这样取时，后面是可以从00取到99的。故a*m。

在i为0的情况下：

下面我们用数字372069举例。

若b也为0，即m=100，b=0，i=0的这个操作。前面可以从1取到371，此时后面可以随便取。注意为什么前面不能取0！前面取372的时候，后面只能取c+1个。故(a - 1) * m + c + 1

若b不为0，假设m=1000，b=2，i=0的这个操作。前面其实是可以从0取到36的，此时后面可以随便取。但是由于b>0=i，所以若前面取到37，后面肯定不符合了。故a*m

最后只要把上述情况分别讨论，结果总和就可以了。

▲代码

#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    freopen("output.txt", "w", stdout);
    long long n;
    scanf("%lld",&n);
    int ans[10];
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
        ans[i] = 0;
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
    {
        long long m = 1;
        while (m < n)
        {
            long long a = n / (m * 10);
            long long b = n / m % 10;
            long long c = n % m;
            if (i)
            {
                if (b > i)
                    ans[i] += ((a + 1) * m);
                else if (b == i)
                    ans[i] += (a * m + c + 1);
                else if (b < i)
                    ans[i] += (a * m);
            }
            else
            {
                if (b == 0)
                    ans[i] += ((a - 1) * m + c + 1);
                else if (b)
                    ans[i] += (a * m);
            }
            m *= 10;
        }
    }
    for (int i = 0; i <= 9; i++)
        printf("%d\n",ans[i]);
}

▲验证

测试样例

input 99
output 9 20 20 20 20 20 20 20 20 20
input 11
output 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1

<3> 算法实现题1-2 字典序问题

参考思路：https://zhuanlan.zhihu.com/p/112912233

▲解题思路

▲代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int n;
string s[1000];
int ans[1000];
int f[27][7];
int g[7];

int func(int i, int k)
{
    if (k == 1)
    {
        f[i][k] = 1;
        return 1;
    }
    int total = 0;
    for (int j = i + 1; j <= 26; j++)
        total += (f[j][k - 1]) ? f[j][k - 1] : func(j, k - 1);
        //如果已经存在，就不用再算一遍了，记忆化搜索
    f[i][k] = total;
    return total;
}

int main()
{
    // build table
    //初始化
    for (int i = 0; i < 27; i++)
        for (int j = 0; j < 7; j++)
            f[i][j] = 0;
    for (int i = 0; i < 7; i++)
        g[i] = 0;

    //填表
    for (int i = 1; i <= 26; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= 6; j++)
            if (f[i][j] == 0)
                func(i, j);
    }
    // 计算每种长度字符串的个数放在g[i]
    for (int k = 1; k <= 6; k++)
        for (int i = 1; i <= 26; i++)
            g[k] += f[i][k];

    // check
    /*
    for (int i = 1; i <= 26; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= 6; j++)
            cout << f[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
    for (int i = 1; i <= 6; i++)
        cout << g[i] << " ";
    */

    // process problem
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        ans[i] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> s[i];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int length = s[i].size();
        int total = 0;
        int a0 = s[i][0] - 'a' + 1;

        // 比该字符串长度小的字符串个数直接加上（之前计算过每种长度字符串的个数放在g[i]）
        for (int j = 1; j < length; j++)
            total += g[j];

        // 与该字符串长度相同，但是首字母不一样的，加上
        // 例如该串首字母d开头，则前面可能有a,b,c开头的，这些需要加上去
        for (int j = 1; j < a0; j++)
            total += f[j][length];

        // 与该字符串相同长度，相同首字母，但每个位置都有可能因为不是紧挨着的而留出别的可能
        // 例如abcde和afghi和afjkl，abcde和afghi之间在第二个位置上留有可能，要考虑b/c/d/e的可能，
        // 故要加上f[2][4],f[3][4],f[4][4],f[5][4],是length-k而不是k因为第二位置引导4位长度的字符串。
        // afghi只有第二个位置存在问题，而afjkl在第二个位置和第三个位置都存在问题，
        // afjkl还需要额外加上f[7][3],f[8][3],f[9][3]这三个，即ghi在第三个位置产生的问题
        // 后面的位置也是同理可得
        for (int k = 1; k < length; k++)
        {
            for (int j = (s[i][k - 1] - 'a' + 1) + 1; j < (s[i][k] - 'a' + 1); j++)
                total += f[j][length - k];
        }

        //前面统计的是到目前为止已有的序号，求自身的序号要+1
        total += 1;

        ans[i] = total;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cout << ans[i] << " ";
    }
}

▲验证

测试样例

input：
5
ab
ac
abcde
xyz
abcdef

output：
27 28 17902 2951 83682 

经过参考代码对拍发现结果完全一致