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一、什么是雷达成像

成像雷达是一种主动传感器，它利用电磁波作为媒介，采集目标回拨数据，并从回波数据中提取目标空间集合形状信息（重构目标图像）

（1）主要的遥感探测手段：光学、红外和雷达

雷达成像相比于光学成像、红外成像的优势：

• 全天候工作（不受气候条件限制）
• 全天时工作（不受白天黑夜限制）
• 探测距离远（几百公里甚至几千公里）
• 是光学、红外的补充（不同频谱观察）

（2）从数学的角度：雷达成像主要研究什么？

雷达成像研究的两个问题：正问题和逆问题

• 正问题：从被观测目标$X$经过数据采集系统$T$得到采集数据$Y$。即给定$X$,$T$,求解$Y$。$Y=TX$。
• 逆问题：从采集数据$Y$经过成像系统$T^{-1}$得到重构图像$X^{{}^{\prime }}$。即给定$Y$,$T$,求解$X$。$X=T^{-1}Y$。

雷达设计的两大任务：数据采集和信息提取

数据采集：$y=Tx+n$

算子$T$由雷达的发射信号决定的，包括发射信号的波形 、极化方式、天线、发射信号调制。

如何设计雷达的发射信号$T$使得可以更好地提取信息$x$？
（1）矩阵$T$要满足每一行都不一样，因为有多少个未知数，就得有多少个方程，这样才能把未知向量$x$解出来。
（2）最好的情况是矩阵$T$是正交的，这样这个矩阵就没有冗余。
（3）放在雷达成像的背景下来理解：就是要设计的这个数据采集系统（观测方式）最好要使得我们每次的观测都不一样，这样才能最大化地获取这个目标的信息。最大化获取目标的信息才能方便重构目标图像，提高重构图像的精度。

信息提取：$y->x?$

通常工程上对这个方程的求解认为是一个变态的问题。

三个挑战性问题：
（1）方程无解（数据被噪声污染）
（2）方程有无穷多解（只有有限的观察数据）
任何一个观测目标都可以认为是一个无穷维度的向量，但是我们实际观察到的数据是有限维度的，即我们获得的方程的个数小于实际观测目标的维度（方程的个数少于未知数的个数），则该方程组有无穷多个解。
（3）方程解对噪声很敏感（$T$接近奇异，行列式非常趋近于0）
此时，方程组有唯一解，但是这个解对噪声非常敏感。只要$T$有一点噪声的扰动，这个解$x$就会偏离真实值很大。
工程上对于无解的情况可以求出一个最小二乘解；无穷多个解的时候可以求出一个最小范数。比如我们去成像一个飞机，我们不需要得到一个显微镜级别的成像，我们只需要达到米级或者亚米级就够了，没有必要达到分子级或者原子级的精度，得到一个精确解。因此，在工程上，没有必要求出这个精确解。

二、SAR的多维理解

（1）雷达角度理解SAR

$D$表示天线的长度。如果想要方位分辨率达到1m，但是$R=100km，\lambda =3cm$保持不变，$D=3000m$。
实现困难：

• 3000m甚至30000m的天线孔径在物理上很难实现
• 即使实现了也很难在飞机、导弹、卫星上应用
  
  SAR是如何解决这个问题的呢？
  
• 在空间中将天线孔径通过Nyquist采样离散化。
• 实阵列：得到的实阵列仍然不方便应用在飞机、导弹、卫星上，实阵列相当于在多个不同的角度观察，模拟了一个大的天线孔径的观察效果。（实孔径是一次就可以从不同角度去观察）
• 合成孔径：仅用实阵列中的一个小的天线孔径，去达到一系列实阵列的观察效果：用时间换空间。用一个天线孔径从不同的位置去观察。
  等效前提：信号时不变。SAR成像关注的是地面目标，一般情况下地面目标在不同时间内的散射特性可以认为保持不变，满足信号时不变的前提。

（2）信号处理角度理解SAR

任何空域有限的信号，在频谱上是无限的。但是我们观察到的频谱又一定是有限的，通过有限的频谱作傅里叶逆变换很难重构出一个高精度的目标。

实际上我们去获取频谱的时候只能获取一些离散的采样值，可以是矩形格式采样，也可以是极坐标格式采样。

对于SAR成像采集到的信号，经过一定的预处理之后，得到的就是极坐标格式的采样。在极径上采样一定的范围，在极角上采样一定的范围。
在极径上采样的位置由载频决定，载频越高，在极径上的范围就越往外移；
在极径上采样的长度由发射带宽决定，发射信号的带宽越宽，在极径上采样的宽度就越宽；
在极角上采样的范围由雷达观测目标时的转角决定，转角越大，在频域上的采集的极角角度就越大。

聚焦上图，我们可以知道右图的载频大于左边的载频。在同样的极角下，范围更大，即方位分辨率更高。

为什么可以从回波信号变换到两维频谱？为什么说回波信号就反映了频谱？——数学原理

这是因为，雷达的回波信号是发射信号和目标函数二维投影的卷积，即回波信号既包含发射信号的信息，也包含了投影的信息。但是发射信号只是一个工具，我们会从回波信号中将发现信号去掉，留下来的就是目标二维函数的一维投影的信息。将一维投影做一个傅里叶变换就可以得到两维频谱的切片。

单个脉冲只能得到一个角度的切片：

我们让雷达发射多个脉冲，可以得到不同角度的频谱切片。当我们得到足够多的切片时，我们就能得到一个较为完整的频谱。

具体的算法实现可能会不一样。

（3）数学角度理解SAR

离散情况

• 数据采集的过程就是投影值测量的过程
• 重构图像的过程就是解不同角度列的投影值方程组成的方程组过程（这只是数学角度的一个理解，真正工程上去实现的时候，方程组的维度特别大，所以不会有人真的去解这个方程组）

离散情况重构图像：反投影算法

在SAR成像中，加完了就相当于抵消掉了。去掉之后剩下，3a,3b,3c,3d，和原来的就相差一个比例系数。

连续情况

连续情况重构图像：Randon变换和反变换

• 数据采集：Radon变换的过程
• 图像重构：Radon反变换的过程
  
  在传统的Radon变换中，通常是沿着一条直线去投影；但是在SAR成像中，一般是沿着一条弧形去投影。
  
  工程上一般会避免矩阵求逆（计算量大，鲁棒性差）来求$X$，一般会用匹配滤波来实现。但这一定程度上牺牲了图像重构的精度。

三、SAR成像算法的统一解释

这些算法的本质都是匹配滤波，不同点在于对距离历程采用了不同近似

适用于星载的SGA算法比较好地解决了轨道弯曲、轨道非共面等问题，没有对任何距离历程采取近似。

（1）极坐标格式算法

将极坐标采样通过一个重采样得到矩形格式采样，这样方便使用2-D FFT来进行图像重构。

极坐标格式转换

（2）距离徙动算法

（3）卷积反投影算法

PFA算法认为对于场景中不同点的频谱都是一样的。但其实这是不准确的，空间中每个点的两维频谱是不一样的，这也便于理解为什么极坐标格式算法（PFA）是近似的。

主要考虑了方位不同的点，频谱会在方位上有一个错位。