图论（洛谷刷题）

news2024/12/26 23:23:17

目录

前言：

题单：

P3386 【模板】二分图最大匹配

P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯

P3385 【模板】负环

P3371 【模板】单源最短路径（弱化版） 

SPFA写法

Dij写法：

 P3385 【模板】负环

P5960 【模板】差分约束 

 P7771 【模板】欧拉路径

文末: 

前言：

若刚入门图论，想做基础图论题，请移步：CSDN

题单：

P3386 【模板】二分图最大匹配

https://www.luogu.com.cn/problem/P3386

交替路：

从未匹配点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边……形成的路径


增广路：

从非匹配点出发，走交替路，最后到达另一非匹配点的路径


算法：
可以发现增广路的匹配边比交替路的匹配边多一----->可以尽可能找增广路（用DFS或者BFS实现），当找不到增广路时，就得到了最大匹配边


匈牙利算法：

男女相亲，男选女，可占可让（可以有女朋友，当遍历到的男生的心仪女生有男朋友时，如果该男朋友还有其他心仪女生没有对象，那么该男朋友会将女朋友让出来，并有新的女朋友）😦😦😦（真渣啊~(* ￣︿￣)（超小声嘀咕(*￣3￣)╭））

const int N = 505;
const int M = 5e4 + 5;

int cnt;
int head[N];
int match[N];//i的男友
int vis[N];

int n, m, e;
int ans;

struct EDGE
{
	int v;
	int next;
}EDGE[/*2 * */M];

void add(int u, int v)
{
	cnt++;
	EDGE[cnt].v = v;
	EDGE[cnt].next = head[u];//不是等于cnt
	head[u] = cnt;
}

bool dfs(int f)//boyfriend
{
	for (int i = head[f]; i; i = EDGE[i].next)//遍历女友
	{
		int v = EDGE[i].v;
		if (vis[v])
			continue;

		vis[v] = 1;
		if (match[v] == 0 || dfs(match[v]/*传的是男友*/))
		{
			match[v] = f;
			return 1;
		}
	}
	return 0;
}

int main()
{
	quickio;
	cin >> n >> m >> e;
	int u, v;
	while (e--)
	{
		cin >> u >> v;
		add(u, v);
		//add(v, u);//不要建双边，只要遍历男友就可以了
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++)//遍历男友
	{
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		if (dfs(i))
			ans++;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯

https://www.luogu.com.cn/problem/P1525

思路：

要用到贪心

按边从大到小排序，再按顺序往后安排各自的监狱，首先最大的怨气的两个人肯定要放在不同的监狱（就是不同的集合---->要涉及到并查集，放相同监狱的有相同的祖先）🧐🧐🧐


#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <deque>
#include <functional>
#include <climits>

#define quickio ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define endl "\n"

using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 2e4 + 5;
const int M = 1e5 + 5;

int n, m;
int fa[N * 2];//> n的存的是敌人

struct zf
{
    int a;
    int b;
    int c;
}zf[M];

bool cmp(struct zf a, struct zf b)
{
    return a.c > b.c;
}

int find(int x)
{
    if (fa[x] == x)
        return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

int FindMin()
{
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        int x = find(zf[i].a);
        int y = find(zf[i].b);
        
        if (x == y)
            return zf[i].c;
        
        fa[fa[zf[i].a]]/*注意是fa[fa[]],要把祖先直接归并到敌人集合，而不只是自己*/ = find(zf[i].b + n)/*不是fa[zf[i].b + n],因为要找的是最上面的祖先*/;
        fa[fa[zf[i].b]] = find(zf[i].a + n);
    }
    return 0;
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	
	//并查集基本操作：初始化父亲
	for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
	    fa[i] = i;
	
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
	    cin >> zf[i].a >> zf[i].b >> zf[i].c;
	}
	
	sort(zf, zf + m, cmp);
	
	int ans = 0;
	ans = FindMin();
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

P3385 【模板】负环

https://www.luogu.com.cn/problem/P3385

注意：

该题不可以用Dijkstra,只能用SPFA，但是通常求最短路最好用Dijkstra,因为SPFA经常被卡，例如你可以做这两个题目：😏  ......~(￣▽￣)~*

【模板】单源最短路径（弱化版） - 洛谷

【模板】单源最短路径（标准版） - 洛谷

你会发现SPFA的代码可以过弱化版，但是过标准版会有一堆TLE(我会在后面公布这两题的答案ฅʕ•̫͡•ʔฅ)

P3371 【模板】单源最短路径（弱化版） 

【模板】单源最短路径（弱化版） - 洛谷

SPFA写法
//SPFA
//该代码是可以判断负环的SPFA，且采用vector存边

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <deque>
#include <functional>
#include <climits>

#define quickio ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define endl "\n"

using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 5e5 + 5;

struct edge
{
    int v;
    int w;
};
int vis[N];//标记是否在队内，所有pop后要置为0，和Dij不一样！！！！！！！！，Dij是标记该点访问过，不再访问
int ans[N];
int countt[N];//经过每个点的次数，如果有一个点的次数 >= n，则有负环

vector<edge>e[N];

int n, m, s;

bool SPFA(int s)
{
    queue<int>que;
    //memset(ans, 0x3f, sizeof(ans));该题初始化为这个不够，0x3f3f3f3f < INT_MAX，要初始化为INT_MAX
    //注意题目要求啊！！！！！！！若不能到达则输出 2^31 - 1，
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans[i] = INT_MAX;
    ans[s] = 0;
    que.push(s);
    vis[s] = 1;

    while (!que.empty())
    {
        int dian = que.front();
        que.pop();
        vis[dian] = 0;/*出队是0，注意！！！！！！！！！！，vis是表示是否在队内的*/

        for (auto ed : e[dian])
        {
            int v = ed.v;
            int w = ed.w;

            if (ans[v] > ans[dian] + w)
            {
                ans[v] = ans[dian] + w;
                countt[v] = countt[dian] + 1;
                if (countt[v] >= n)
                    return true;//返回true表示有负环

                if (vis[v] == 0)
                {
                    vis[v] = 1;
                    que.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> s;
    int u, v, w;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        cin >> u >> v >> w;
        e[u].push_back({ v, w });
    }
    SPFA(s);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << ans[i] << " ";
    return 0;
}
Dij写法：

问题：

弱化版的代码超时---->要用堆优化   (ง •_•)ง

核心：

priority_queue< pair<int,int> > 用优先队列来取最近的点，就不用遍历找点了

在priority_queue中，是按pair的第一个元素（first）由大到小排序的，所以pair<距离，点号>，注意因为要的是最小值，所以距离要存负值 (重点敲黑板哦~~    😳😳😳)


总结：

要优先队列来方便选出最短路径，注意堆优化（优先队列）中的排序是从大到小，所以存距离要存负数
要一个结构体存每个点的数据，head数组存每条链的数据，还要用ans数组记录从起点到某点的最短距离，用vis数组记录点是否被加入过最短路径，避免重复加入


#include <queue>
/*堆优化：利用优先队列，降低复杂度，直接排序，注意优先队列是由大到小排列的,因此距离是负数 */
#include <climits>
#include <iostream>

using namespace std;

const int MAX = 1e6;
int n, m, s;
int ans[MAX];//最短距离
int cnt;
int head[MAX];//出边的头标记
int visit[MAX];//标记该点是否被访问过

struct EDGE
{
    int to;
    int next;//下一个出边
    int wei;//权值
}edge[MAX];

void add(int u, int v, int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].wei = w;
    edge[cnt].to = v;
    edge[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt;
}

int main()
{
    int i;
    int u, v, w;
    cin >> n >> m >> s;

    for (i = 1; i <= n; i++)
        ans[i] = INT_MAX;
    ans[s] = 0;

    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> u >> v >> w;
        add(u, v, w);
    }

    priority_queue<pair<int, int> >que;//距离，点
    que.push({0, s});

    while (!que.empty())
    {
        int qh = que.top().first;
        int h = que.top().second;
        que.pop();/*记得pop()!!!!!!!!!*/

        if (visit[h] == 0)
        {
            visit[h] = 1;
            for (i = head[h]; i != 0; i = edge[i].next)//不断找下一个儿子，直到找完
            {
                if (ans[edge[i].to] > ans[h] + edge[i].wei)
                {
                    ans[edge[i].to] = ans[h] + edge[i].wei;
                    if (visit[edge[i].to] == 0)
                        que.push({ -ans[edge[i].to], edge[i].to });

                }
            }
        }
    }

    for (i = 1; i <= n; i++)
        cout << ans[i] << ' ';
    cout << endl;
    return 0;
}

 P3385 【模板】负环

P3385 【模板】负环 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

//负环
//该代码是可以判断负环的SPFA，且采用vector存边

const int N = 5e5 + 5;

struct edge
{
    int v;
    int w;
};
int vis[N];//标记是否在队内，所有pop后要置为0，和Dij不一样！！！！！！！！，Dij是标记该点访问过，不再访问
int ans[N];
int countt[N];//经过每个点的次数，如果有一个点的次数 >= n，则有负环

vector<edge>e[N];

int n, m, s;

bool SPFA(int s)
{
    queue<int>que;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans[i] = INT_MAX;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(countt, 0, sizeof(countt));
    ans[s] = 0;
    que.push(s);
    vis[s] = 1;

    while (!que.empty())
    {
        int dian = que.front();
        que.pop();
        vis[dian] = 0;/*出队是0，注意！！！！！！！！！！，vis是表示是否在队内的*/

        for (auto ed : e[dian])
        {
            int v = ed.v;
            int w = ed.w;

            if (ans[v] > ans[dian] + w)
            {
                ans[v] = ans[dian] + w;
                countt[v] = countt[dian] + 1;
                if (countt[v] >= n)
                    return true;//返回true表示有负环

                if (vis[v] == 0)
                {
                    vis[v] = 1;
                    que.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        memset(e, 0, sizeof(e));
        cin >> n >> m;
        int u, v, w;
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            cin >> u >> v >> w;
            if (w >= 0)
            {
                e[u].push_back({ v, w });
                e[v].push_back({ u, w });
            }
            else
                e[u].push_back({ v, w });
        }
        if (SPFA(1))
        {
            cout << "YES" << endl;
        }
        else
            cout << "NO" << endl;
    }
    return 0;
}

P5960 【模板】差分约束 

【模板】差分约束 - 洛谷

一个差分约束系统是这样的：

给出 n 个变量和 m 个约束条件，形如    Xi - Xj≤Ck  ​，你需要求出一组解，使得所有约束条件均被满足。🤯🤯🤯

怎样解这个差分约束系统呢？我们将上面的不等式变形一下：

Xi​≤Xj​+Ck​          🤔(+_+)?

容易发现这个形式和最短路中的三角形不等式Dis(v)​≤Dis(u)​+w 非常相似。😮😮😮

因此我们就将这个问题转化为一个求最短路的问题：比如对于上面这个不等式，

1、我们从 j 向 i 连一条权值为 Ck​ 的边。

2、我们再新建一个 0 号点，从 0 号点向其他所有点连一条权值为 0的边。

这个操作相当于新增了一个变量 X0​ 和 n 个约束条件xi​≤x0​，从而将所有变量都和X0​ 这一个变量联系起来。

3、然后以 0号点为起点，用 SPFA 跑最短路。

如果有负权环，差分约束系统无解。否则设从 0号点到 i号点的最短路为 Dis(i)​，则xi​=Dis(i)​ 即为差分约束系统的一组可行解。

const int N = 5e5 + 5;

struct edge
{
    int v;
    int w;
};
int vis[N];//标记是否在队内，所有pop后要置为0，和Dij不一样！！！！！！！！，Dij是标记该点访问过，不再访问
int ans[N];
int countt[N];//经过每个点的次数，如果有一个点的次数 >= n，则有负环

vector<edge>e[N];

int n, m, s;

bool SPFA(int s)
{
    queue<int>que;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans[i] = INT_MAX;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(countt, 0, sizeof(countt));
    ans[s] = 0;
    que.push(s);
    vis[s] = 1;

    while (!que.empty())
    {
        int dian = que.front();
        que.pop();
        vis[dian] = 0;/*出队是0，注意！！！！！！！！！！，vis是表示是否在队内的*/

        for (auto ed : e[dian])
        {
            int v = ed.v;
            int w = ed.w;

            if (ans[v] > ans[dian] + w)
            {
                ans[v] = ans[dian] + w;
                countt[v] = countt[dian] + 1;
                if (countt[v] >= n + 1/*注意这里是n + 1了，因为多加了一个0号节点*/)
                    return true;//返回true表示有负环

                if (vis[v] == 0)
                {
                    vis[v] = 1;
                    que.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    memset(e, 0, sizeof(e));
    cin >> n >> m;
    int u, v, w;
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        cin >> u >> v >> w;
       
        //e[u].push_back({ v, w });
        e[v].push_back({ u, w });//注意这里的起点和终点！！！！！！！
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        e[0].push_back({ i, 0 });
    //注意：要让一点可以到达所有点才行，但是图内不一定存在这种点，所以可以自己创建一个0节点，并和所有点都连起来，同时边权为0
    if (SPFA(0) == false)//从0号节点出发，求它到所有点的最短路径，如果有负环，该差分约束无解
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cout << ans[i] << " ";
        cout << endl;
    }
    else
        cout << "NO" << endl;
    
    return 0;
}

 P7771 【模板】欧拉路径

https://www.luogu.com.cn/problem/P7771

欧拉路径：

只经过一次的边😮


欧拉回路：

经过欧拉路径能回到起点的回路 🤨🤨🤨


欧拉图：

有欧拉 回路 的图😶


半欧拉图：

有欧拉 路径 的图，但是没有欧拉 回路 😵😵😵

判断是否有欧拉路径：
1、有向图
欧拉路径：
只有两个点出度不等于入度：起点（出度 = 入度 + 1），终点（入度 = 出度 + 1）
其他点：入度 = 出度 (～﹃～)~zZ
欧拉回路：
所有点入度等于出度 O_O

2、无向图
欧拉路径：
只有两个点的度数为奇数：起点（出度 = 入度 + 1），终点（入度 = 出度 + 1）
其他点：度数为偶数           (っ´Ι`)っ：偶数
欧拉回路：
所有点度数为偶数    ( ´･･)ﾉ(._.`)

const int N = 1e5 + 5;
const int M = 2e5 + 5;

//用Dij不好排序，用vector的图
//struct EDGE
//{
//	int v;
//	int w;
//	int next;
//}EDGE[M];
//
//int head[N];
//int ans[N];
//int vis[N];
//int cnt;
//
//int du[N][2];//入度，出度
//
//void add(int u, int v, int w)
//{
//	cnt++;
//	EDGE[cnt].v = v;
//	EDGE[cnt].w = w;
//	EDGE[cnt].next = head[u];
//	head[u] = cnt;
//}

vector<int>G[N];
stack<int>st;
int du[N][2];//入度，出度
int cnt[2];//记录多少点出度不等于入度，cnt[0]:入度 > 出度,cnt[1]:出度 > 入度
int beginn[N];//记录每个点遍历到了哪个出边

void DFS(int qi)
{
	for (int i = beginn[qi]; i < G[qi].size(); i = beginn[qi]/*注意不是i++,因为经过DFS后，beginn[qi]的值可能早已改变，不能再从目前点的后一个点继续走*/)
	{
		beginn[qi] = i + 1;
		DFS(G[qi][i]);
	}
	st.push(qi);
	//最后放：因为栈是先进后出，要先把该点的出边都遍历完再放入该点，以便输出时该点先输出
}

int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	int u, v;
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		cin >> u >> v;
		G[u].push_back(v);
		du[u][1]++;
		du[v][0]++;
	}

	int qi = 1;//起点
	//int flag = 0;//flag = 0表示：所有点入度 = 出度
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		sort(G[i].begin(), G[i].end());//注意vector和数组对sort的用法不同

		if (du[i][0] != du[i][1])
		{
			//flag = 1;
			if (du[i][0] - du[i][1] == 1)//入度 - 出度 = 1：终点
			{
				cnt[1]++;
			}
			else if (du[i][1] - du[i][0] == 1)//出度 - 入度 = 1：起点
			{
				cnt[0]++;
				qi = i;
			}
			else
			{
				cout << "No" << endl;
				return 0;
			}
		}
	}

	
	if (cnt[0] != cnt[1]/*起点数不等于终点数*/)
	{
		cout << "No" << endl;
		return 0;
	}

	if (cnt[0] != 0/*不是欧拉路径*/ && cnt[0] != 1/*不止一个起点*/)
	{
		cout << "No" << endl;
		return 0;
	}

	DFS(qi);

	while (!st.empty())
	{
		cout << st.top() << " ";
		st.pop();
	}
	return 0;
}

 

文末: 

单源最短路径（弱化版）

【模板】单源最短路径（弱化版） - 洛谷

该题可用Dij，也可用SPFA，该题SPFA可以：

单源最短路径（标准版） 

【模板】单源最短路径（标准版） - 洛谷

该题只能Dij,若为SPFA：

综上所述：最好用Dij算法求单源最短路径，但若有负边权：只能用SPFA 

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