前言：
本系列是学习了董晓老师所讲的知识点做的笔记
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动态规划系列
【算法】动态规划之线性DP问题-CSDN博客
01背包
步骤：
分析容量j与w[i]的关系，然后分析是否要放入背包
二维数组
for(int i=1; i<=n; i++) //物品
for(int j=1; j<=m; j++) //容量
if(j<w[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);一维数组用逆序循环的原因
用一维数组f[i]只记录一行数据，让j值顺序循环，顺序更新f[j]值，f[j-w[i]]会先于f[j]更新，会出错。
如果j是逆序循环，f[j]会先于f[j-w[i]]更新
01背包使用的是上一层的值，如果顺序循环的话就会改变应有的值
for (int i = 1; i <= n; i++)//物品i
{
for (int j = m; j >= w[i], j--)//容量j
{
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + c[i])
}
}完全背包
完全背包使用的是同一层的值，顺序循环的话改变值正是他所需要的，所以他可以顺序循环
for(int i=1; i<=n; i++) //物品
for(int j=1; j<=m; j++) //容量
if(j<w[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+c[i]);for (int i = 1; i <= n; i++)//物品i
{
for (int j = w[i]; j <= m, j++)//容量j
{
f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + c[i])
}
}01背包和完全背包的区别
01背包第i件物品可以放入0个或者1个
完全背包第i件物品可以放入0个，1个，2个.....
多重背包
01背包:第i种物品可以取0件、取1件。
多重背包:第i种物品可以取0件、取1件、取2件……取s件。
多重背包转化为01背包求解:把第i种物品换成s件01背包中的物品，每件物品的体积为k*v，价值为k*w(0≤k≤s)。
朴素算法
//v[i],&w[i],&s[i])分别表示体积,价值,数量
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=0; j<=m; j++)
for(int k=0; k<=s[i]&&k*v[i]<=j; k++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);二进制优化
int num = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> v >> w >> s;//体积，价值，数量
for (j = 1; j <= s; j <<= 1)
{
vv[num] = j * v;
ww[num++] = j * w;
s -= j;
}
if (s)
{
vv[num] = s * v;
ww[num++] = s * w;
}
}
for (int i = 1; i < num; i++)
for (int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - vv[i]] + ww[i]);单调队列
前置知识
【算法】用存入下标的方法来巧解单调队列-CSDN博客
(k-q[h])/v是还能放入物品的个数。f[k]=窗口中的最大值+还能放入物品的价值。
混合背包
题目：
思路
分类处理的思想:
1.利用多重背包的二进制优化，将多重背包转化为多个01背包。
2.用a,b,c三个数组来记录转化之后的所有背包的体积、价值、类型，c[i]==0表示完全背包，c[i]==1表示01背包。最后再做一遍，以c的值分为两类，做完全背包和01背包。
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d%d%d", &v, &w, &s);
if (s == 0) { //完全背包
a[num] = v;
b[num] = w;
c[num++] = 0; //背包类型
}
else {
if (s == -1)
s = 1;//01背包转多重背包
int k = 1;
while (s >= k) {//二进制拆分
a[num] = k * v;
b[num] = k * w;
c[num++] = 1;
s -= k; k <<= 1;
}
if (s) {
a[num] = s * v;
b[num] = s * w;
c[num++] = 1;
}
}
}
for (int i = 1; i < num; i++) {
if (c[i] == 1) //01背包
for (int j = m; j >= a[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - a[i]] + b[i]);
else //完全背包
for (int j = a[i]; j <= m; j++)
f[j] = max(f[j], f[j - a[i]] + b[i]);
}二维费用背包
f[i][k]: 背包容量为j，且承重为k时，能放入的最大价值。
f[V][M]: 背包容量为V，且承重为M时能放入的最大价值，即全局最优解。
cin>>n>>V>>M;
for(int i=1; i<=n; i++){ //物品
cin>>v>>m>>w;
for(int j=V; j>=v; j--) //体积
for(int k=M; k>=m; k--) //重量
f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v][k-m]+w);
}
cout<<f[V][M];分组背包
分组背包与多重背包的区别是分组背包在每一个组中只能选一个
决策在前，体积在后的方法是错误的（用同一组的物品来更新了），积前策后才是对的
二维决策：同一个组里面的物品只能选一个
一维决策：个数
for (int i = 1; i <= n; i++) //物品组
for (int j = 1; j <= V; j++) //体积
for (int k = 0; k <= s[i]; k++) //决策
if (j >= v[i][k])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);for (int j = 1; j <= s; j++)
cin >> v[j] >> w[j];
for (int j = V; j >= 1; j--) //体积
for (int k = 0; k <= s; k++) //决策
if (j >= v[k]) f[j] = max(f[j], f[j - v[k]] + w[k]);
