【数据结构与算法】第十八篇:递归,尾递归,尾调用

news2024/11/15 4:41:52

知识概览

  • 一、递归的引入(递归现象)
  • 二、递归的调用过程与实例分析
  • 三、递归的基本思想
    • 小tip:链表递归的具体实例
  • 四、递归的一般使用条件
  • 五、实例分析:斐波那契数列
    • 1.原理剖析
    • 2.fib优化1 – 记忆化
    • 3.fib优化2
    • 4.fib优化3
  • 六、实例分析:青蛙跳台阶问题
  • 七、实例分析:汉诺塔问题
  • 八、递归转非递归分析
  • 九、尾调用,尾递归(了解)
    • 1. 尾调用的优化(了解)


一、递归的引入(递归现象)

递归思想想必大家都不陌生。它分为“递”和“归”两个过程。是一种常见的算法策略。类似于以下的故事场景:
1.从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小和
尚讲故事呢!故事是什么呢?【从前有座山,山里有座庙,
庙里有个老和尚,正在给小和尚讲故事呢!故事是什么呢?
『从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚,正在给小
和尚讲故事呢!故事是什么呢?……』】
2.GNU 是 GNU is Not Unix 的缩写
GNU → GNU is Not Unix → GNU is Not Unix is Not Unix → GNU is Not Unix is Not Unix is Not Unix
3.假设A在一个电影院,想知道自己坐在哪一排,但是前面人很多,
A 懒得数,于是问前一排的人 B【你坐在哪一排?】,只要把 B 的答案加一,就是 A 的排数。
B 懒得数,于是问前一排的人 C【你坐在哪一排?】,只要把 C 的答案加一,就是 B 的排数。
C 懒得数,于是问前一排的人 D【你坐在哪一排?】,只要把 D 的答案加一,就是 C 的排数。

二、递归的调用过程与实例分析

以下面这段代码为例

/**
     * 计算n的阶乘
     * 1*2*3*4......*(n-1)*n
                */
        public int Fac(int n){
            if(n<=1)return n;
            return n*Fac(n-1);
    }

在这里插入图片描述
时间,空间复杂度分析
递归所需要的时间:T(n)=T(n-1)+O(1)
根据时间对应表如下:
在这里插入图片描述可以得出时间复杂度为 : O(n)
空间复杂度为: O(n) (开辟了n个占空间)

几种优化思想
在这里插入图片描述

三、递归的基本思想

拆解思想
1.把规模较大的问题转化为同类型的规模较小的问题。
2.把规模较小的问题转化为规模更小的问题。
3.规模较小的问题可以直接得出他的答案。

求解
1.由最小规模问题的解得出较大规模问题的解
2.由较大规模问题的解不断得出规模更大问题的解
3.最后得出原来问题的解
这两种思想正好体现了递归的 ‘递’和‘归’两个过程
在这里插入图片描述类似于可以利用上面这种思想解题的都可以考虑递归,递归不是为了得到最优解,而是为了简化解题思想。
很多链表、二叉树相关的问题都可以使用递归来解决
✓ 因为链表、二叉树本身就是递归的结构(链表中包含链表,二叉树中包含二叉树)

小tip:链表递归的具体实例

2.两数相加
在这里插入图片描述

class Solution {
    public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
       if(l1==null)return l2;
       if(l2==null)return l1;
       int sum=l1.val+l2.val;
        ListNode head=new ListNode(sum%10);
        head.next=addTwoNumbers(l1.next,l2.next);
        if(sum>9)head.next=addTwoNumbers(head.next,new ListNode(1));
        return head;
    }
}

四、递归的一般使用条件

① 明确函数的功能 (重要!!!)
先不要去思考里面代码怎么写,首先搞清楚这个函数的干嘛用的,能完成什么功能?
② 明确原问题与子问题的关系
寻找 f(n) 与 f(n – 1) 的关系
③ 明确递归基(边界条件)
递归的过程中,子问题的规模在不断减小,当小到一定程度时可以直接得出它的解
重要:寻找递归基,相当于是思考:问题规模小到什么程度可以直接得出解?

五、实例分析:斐波那契数列

斐波那契数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)
◼ 编写一个函数求第 n 项斐波那契数
在这里插入图片描述
以上写法的空间复杂度为O(n).
你可能会疑惑为什么双路递归那么重复调用,为什么空间复杂度才O(n)级别,而时间复杂度却达到了恐怖的O(2n)?这里我们先抛出一个计算递归空间复杂度复杂度的通式
递归调用的空间复杂度=递归深度*每次递归调用所需要的辅助空间。
具体原理我们下文细细剖析~

1.原理剖析

根据以上的复杂度分析,对于斐波那契这种多路递归,时间复杂度为O(2n),这个时间复杂度是十分恐怖的。双路递归不可避免的重复计算很多。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.fib优化1 – 记忆化

在上面的介绍种,斐波那契额数列性能差的一个重要因素就是拥有大量的重复计算。
假如我们从根节点向着一个方向先进行递归,记住已经算过的递归调用的返回值
然后在进行另一个分支计算时就不用再次进行重复计算了,大大减少了重复计算。我们用数组来实现这个思想。

 public static int fib2(int n){
        if(n<=2)return 1;
        int [] array=new int [n+1];
        array[1]=array[2]=1;
        return fib3(n,array);
    }
    public static int fib3(int n,int []array){
        if(array[n]==0){//说明该位置还没有赋值
            array[n]=fib3(n-1,array)+fib3(n-2,array);
        }
        return array[n];
    }
}

在这里插入图片描述
◼ 时间复杂度:O(n),空间复杂度:O(n)

3.fib优化2

去除递归操作

//去除递归优化时间复杂度O(n)
    public static int fib1(int n){
        int [] array=new int[n+1];
        array[1]=array[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            array[i]=array[i-1]+array[i-2];
        }
        return array[n];
    }

4.fib优化3

由于每次运算只需要用到数组中的 2 个元素,所以可以使用滚动数组来优化,创建一个空间为2的数组每次,依次向下更新数组元素的值。
这里的&运算符就是%运算符的作用。
在这里插入图片描述

public static int fib4(int n){
            if(n<=2)return 1;
            int [] arr=new int [2];
            arr[0]=arr[1]=1;
            for(int i=3;i<=n;i++){
                //始终着眼于两个数组
                arr[i&1]=arr[(i-1)&1]+arr[(i-2)&1];
            }
            return arr[n&1];
        }
        //上台阶
        public static int f(int n){
            if(n<=2)return n;
            return f(n-1)+f(n-2);

        }

这里为什么可以用&取代%(%2都可以改成&1)
在这里插入图片描述

六、实例分析:青蛙跳台阶问题

楼梯有 n 阶台阶,上楼可以一步上 1 阶,也可以一步上 2 阶,走完 n 阶台阶共有多少种不同的走法?
√假设 n 阶台阶有 f(n) 种走法,第 1 步有 2 种走法
✓ 如果上 1 阶,那就还剩 n – 1 阶,共 f(n – 1) 种走法
✓ 如果上 2 阶,那就还剩 n – 2 阶,共 f(n – 2) 种走法
√所以 f(n) = f(n – 1) + f(n – 2)
在这里插入图片描述

  public int climbStairs(int n){
        if(n<=2)return n;
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);

    }

迭代优化

  public int climbStairs1(int n){
        if(n<=2)return n;
        int first=1;
        int second=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            second=first+second;
            first=second-first;
        }
        return second;
    }

七、实例分析:汉诺塔问题

编程实现把 A 的 n 个盘子移动到 C(盘子编号是 [1, n] )
1.每次只能移动1个盘子
2.大盘子只能放在小盘子下面
在这里插入图片描述递归的基本思想,找到递归是条件
最初的思想是将n个木盘从A移动到C,B作为中间过渡柱子。
现在可以找到共同性(1)先将n-1个柱子从A移动到B,C作为中间过渡柱子。
(2)然后再将第n个柱子移动到C.(3)然后再将n-1个柱子从B移动到C,A最为中间过渡柱子。
找到则会个规律我们用代码来实现以下。

/**
     * 柱子p1  p2  p3
     * 木板:
     *      1
     *      2
     *      3
     *      4
     *    .......
     *     n-1
     *      n
     *    按位置来说:p1:起始位置  p2:中间过渡位置  p3:最终位置
     *
     */
    //找到递归规律
    public static void  hanoi(int n,String p1,String p2,String p3){
        //就一块板子
        if(n==1){
            move(n,p1,p3);
            return;
        }
        hanoi(n-1,p1,p3,p2);
        move(n,p1,p3);
        hanoi(n-1,p2,p1,p3);
    }
    public static void move(int n,String from,String to){
        System.out.println("将"+n+"号盘子从"+from+"移动到"+to);
    }

八、递归转非递归分析

递归分为递和归两个过程,所以再递的过程中,先一直向更深的方向递归,然后数据规模小到一定程度,直接返回一个数然后递归的空间按时间开辟晚到近依次释放。这和栈的先进后出的特点十分相似。不出所料递归的底层也是通过栈实现的,所以一般递归都可以通过栈转化为非递归。
实例一:递归形式


    public void log(int n){
        if(n<1)return;
        log(n-1);
        int v=n+10;
        System.out.println(v);
    }

非递归实现(创建辅助对象)

 //非递归实现
    public void log1(int n){
        Stack<Model> stack=new Stack<>();
       while(n>0){
           stack.push(new Model(n,n+10));
           n--;
       }
       while(!stack.isEmpty()){
           System.out.println(stack.pop().getV());
       }
    }

package Test01;

public class Model {
   private int n;
    private int v;

    public Model(int n, int v) {
        this.n = n;
        this.v = v;
    }

    public int getN() {
        return n;
    }

    public void setN(int n) {
        this.n = n;
    }

    public int getV() {
        return v;
    }

    public void setV(int v) {
        this.v = v;
    }
}

九、尾调用,尾递归(了解)

◼ 尾调用:一个函数的最后一个动作是调用函数
◼如果最后一个动作是调用自身,称为尾递归(Tail Recursion),是尾调用的特殊情况
在这里插入图片描述◼ 一些编译器能对尾调用进行优化,以达到节省栈空间的目的(但是java编译器并不支持)
上面图中的代码为例,按照代码中的调用应该会向上不断开辟空间,但是如果是尾调用优化的话则不会在想上开辟空间直接重复利用test1的空间。
在这里插入图片描述那么问题来了:如果是尾递归肯定没得说,每次调用的栈空间肯定是相同大小的,如果是尾调用,调用其他方法,栈空间不一样大怎么办?
答:这个大可不必担心,因为,某些编译器的底层会对其在原有基础上进行扩容。

尾调用判断

}
    /**
     * 计算n的阶乘
     * 1*2*3*4......*(n-1)*n
                */
        public int Fac(int n){
            if(n<=1)return n;
            return n*Fac(n-1);
    }

这个不是尾调用因为,最后一步执行的是*,而不是调用函数。

  void test3(int n){
        int a=10;
        int b=a+10;
        test4(b);
        int c=a+b;//这里
        int d;
    }
    void test4(int b){
        int x1=30;
        int x2=50;
    }

不是尾调用,只有最后一句是调用函数的时候才是尾调用
为什么只有最后一句是尾调用的时候才是尾调用?
一上面这段代码为例。
在这里插入图片描述

1. 尾调用的优化(了解)

实例一:n的阶乘改成非递归

 //改成尾调用优化
    public int Fac1(int n) {
        return Fac2(n,1);
    }
    public int Fac2(int n,int result){
            if(n<=1)return n;
            //result:之前的结果
            return Fac2(n-1,result*n);
    }

实例二:斐波那契改成非递归

 //斐波那契实现为调用
    public int Fib(int n){
            return Fib1(n,1,1);
    }
    public int Fib1(int n,int first,int second){
            if(n<=1)return first;
            return Fib1(n-1,second,first+second);
    }

在这里插入图片描述

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