【Leetcode每日一题】分治 - 交易逆序对的总数（难度⭐⭐⭐）（74)

news2024/11/16 3:50:43

1. 题目解析

题目链接：LCR 170. 交易逆序对的总数

这个问题的理解其实相当简单，只需看一下示例，基本就能明白其含义了。

2.算法原理

归并排序的基本思路

归并排序将数组从中间分成两部分，在排序的过程中，逆序对的来源分为以下三类：

左子数组内部的逆序对
右子数组内部的逆序对
跨越左右子数组的逆序对

最终的逆序对总数是这三类逆序对的总和。归并排序的整体步骤如下：

排序左子数组
排序右子数组
合并两个有序子数组

利用归并排序统计逆序数的原理

在归并排序的合并过程中，左、右子数组始终保持有序状态。我们可以利用这一特性快速统计跨越左右子数组的逆序对数量，而不必遍历所有可能的组合。

具体计算逆序数的方法

合并两个有序数组时，可以通过以下两种方式之一统计逆序数：

统计某个数之前的有多少个数比它大
统计某个数之后的有多少个数比它小

我们重点分析第一种方式的原理。

示例分析

假设两个有序数组和辅助数组为 left = [5, 7, 9]，right = [4, 5, 8] 和 help = []。通过合并的过程可以求得逆序数。定义如下变量：

cur1：遍历 left 数组的指针
cur2：遍历 right 数组的指针
ret：记录逆序数的计数器

合并的具体步骤如下：

第一轮：left[cur1] > right[cur2]。因为 left 数组中 [cur1, 2] 区间的所有元素均大于 right[cur2]，这些元素可以与 right[cur2] 构成逆序对。因此，更新 ret += 3 并将 right[cur2] 放入 help 数组，同时 cur2++。
第二轮：left[cur1] == right[cur2]。此时 right[cur2] 可能与 left 中的其他元素形成逆序对，因此将 left[cur1] 放入 help 数组。没有新增逆序对，不更新 ret。
第三轮：left[cur1] > right[cur2]。与第一轮类似，left[cur1, 2] 区间内的元素均大于 right[cur2]，更新 ret += 2，并将 right[cur2] 放入 help 数组，cur2++。
第四轮：left[cur1] < right[cur2]。left[cur1] 比 right 中的所有元素小，不构成逆序对。直接将 left[cur1] 放入 help 数组，不更新 ret。
第五轮：left[cur1] > right[cur2]。此时 left 中的元素能与 right[cur2] 构成逆序对，更新 ret += 1，并将 right[cur2] 放入 help 数组。

处理剩余元素

在合并过程中，如果 left 中还有剩余元素，说明这些元素已经与 right 中的元素计算过，不会新增逆序对。直接将剩余元素放入 help 数组。如果 right 中还有剩余元素，则这些元素均比 left 中的元素大，同样不会构成逆序对。

小结

通过上述方式利用归并排序的合并过程，可以快速统计逆序数。复杂度为 O(N log N)，相较于暴力解法的 O(N^2) 效率更高。

3.代码编写

class Solution {
    int tmp[50010];

public:
    int reversePairs(vector<int>& nums) {
        return mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);
    }
    int mergeSort(vector<int>& nums, int left, int right) {
        if (left >= right)
            return 0;
        int ret = 0;
        // 1. 找中间点，将数组分成两部分
        int mid = (left + right) >> 1;
        // [left, mid][mid + 1, right]
        // 2. 左边的个数 + 排序 + 右边的个数 + 排序
        ret += mergeSort(nums, left, mid);
        ret += mergeSort(nums, mid + 1, right);
        // 3. ⼀左⼀右的个数
        int cur1 = left, cur2 = mid + 1, i = 0;
        while (cur1 <= mid && cur2 <= right) // 升序的时候
        {
            if (nums[cur1] <= nums[cur2]) {
                tmp[i++] = nums[cur1++];
            } else {
                ret += mid - cur1 + 1;
                tmp[i++] = nums[cur2++];
            }
        }
        // 4. 处理⼀下排序
        while (cur1 <= mid)
            tmp[i++] = nums[cur1++];
        while (cur2 <= right)
            tmp[i++] = nums[cur2++];
        for (int j = left; j <= right; j++)
            nums[j] = tmp[j - left];

        return ret;
    }
};