AVL树浅谈

news2024/12/26 21:00:03

前言

大家好，我是jiantaoyab，本篇文章给大家介绍AVL树。

基本概念

AVL树（Adelson-Velsky和Landis树）是一种自平衡的二叉搜索树，得名于其发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis。在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别为1，因此它也被称为高度平衡树。

AVL树特点

  1. 二叉搜索树性质：AVL树本质上是一棵二叉搜索树，即每个节点的左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，而右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
  2. 平衡条件：AVL树的每个节点的左子树和右子树的高度差之绝对值不超过1。这是AVL树与其他二叉搜索树的主要区别，保证了树的平衡性，从而优化了查找、插入和删除操作的性能。
  3. 平衡因子：每个节点都有一个平衡因子，定义为该节点的右子树高度减去左子树高度。在AVL树中，平衡因子的取值只能是-1、0或1。

模拟实现

AVL树节点定义

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V> *_left;
	AVLTreeNode<K, V> *_right;
	AVLTreeNode<K, V> *_parent;
	pair<K,V> _kv;  //pair是将2个数据组合成一组数据

	int _bf; //balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>&kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
		, _kv(kv)
	{}

};

插入操作

bool Insert(const pair<K, V>&kv)
	{

		if (_root == nullptr){
			_root = new Node (kv);
			return true;
		}

		//二叉搜索树插入
		Node *parent = nullptr;
		Node*cur = _root;

		while (cur){
			if (cur->_kv.first < kv.first){
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}

			else if (cur->_kv.first>kv.first){
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}

			else{
				return false;
			}
		}

			cur = new Node(kv);

			if (parent->_kv.first < kv.first){
				parent->_right = cur;
				cur->_parent = parent;
			}

			else{
				parent->_left = cur;
				cur->_parent = parent;
			}

		
		//控制平衡
		//1、更新平衡因子 
		//2、异常，旋转平衡处理
		//只会影响这条路径，最坏更新到根
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left){
				parent->_bf--;
			}

			else{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0){
				break;
			}
			//继续更新
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}

			//旋转处理 
			//1：树平衡了
			//2:树的整体高度降了1
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){

				//右单旋
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){
					RotateR(parent);
				}

				//左单旋
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){
					RotateL(parent);
				}

				//双旋左右
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){
					RotateLR(parent);
				}
				//双旋右左
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){
					RotateRL(parent);
				}

				else{
					assert(false);
				}
				//旋转完之后不影响上面的，可以直接退出
				break;	

			}

			//插入之前，平衡因子有问题
			else{
				assert(false);
			}

		}

		return true;
}

旋转操作

右单旋

image-20240506110209062

	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;

		//更新父节点
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		//如果原来是根
		if (parent == _root){
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		//如果是别人的子树
		else{
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subL;
			else
				parentParent->_right = subL;

			subL->_parent = parentParent;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

左单旋

void RotateL(Node* parent)
	{

		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL){
			subRL->_parent = parent;
		}

		Node* parentParent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		//原来是根
		if (_root == parent){
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		//原来是别人的子树
		else{
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subR;
			else
				parentParent->_right = subR;
			subR->_parent = parentParent;
		}

		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

左右双旋

image-20240506123437496

void RotateLR(Node *parent)
	{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;
			int bf = subLR->_bf;

			RotateL(parent->_left);
			RotateR(parent);
			if (bf == -1)
			{
				parent->_bf = 1;
				subL->_bf = 0;
			}

			else if (bf == 1)
			{
				parent->_bf = 0;
				subL->_bf = -1;
			}
			else
			{
				parent->_bf = subL->_bf = 0;
			}
			subLR->_bf = 0;
		
		
	}

右左双旋

void RotateRL(Node *parent)	
	{
		//   30 (parent)
		//  /   \
		//  a   90(subR)
		//      /   \     
		//    60(subRL)   d
		//   b  c
	
		Node *subR = parent->_right;
		Node *subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		//这里看图 变化后的图
		if (bf == 1){
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}

		else if (bf == -1){
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1; 
			subRL->_bf = 0;
		}

		else if (bf == 0){
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}

	}

判断是不是AVL树

int Height(Node *root)
	{
		if (root == NULL)
			return 0;

		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);
		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

	//1.检查是不是搜索二叉树
	//2.检查每一课子树是不是AVL树
	bool _IsBalance(Node *root)
	{
		if (root == NULL)
			return true;

		//当前树检查
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		//平衡因子出问题
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){
			cout << root->_kv.first << "NOW::" << root->_bf << endl;
			cout << root->_kv.first << "CORRECT::" << rightHeight - leftHeight << endl;
			return false;
		}

		//左右高度差不能超过2
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

AVL树性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(log n)。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

AVL树使用场景

  1. 数据库和文件系统的索引
    • 数据库系统经常需要快速检索、插入和删除记录。AVL树作为索引结构，可以加速这些操作，确保查询效率不会因为数据的不均匀分布而降低。
  2. 内存数据库
    • 对于需要快速响应的内存数据库，如Redis，使用AVL树可以确保数据访问的高效性。
  3. 字典或词汇查找
    • 在自然语言处理或文本编辑器中实现自动补全、拼写检查或同义词查找等功能时，AVL树可以提供快速的词汇查找和插入。
  4. 路由表查找
    • 在计算机网络中，路由器需要根据路由表快速查找最佳路径。AVL树可以确保路由查找的高效性。
  5. 搜索引擎
    • 搜索引擎在处理大量网页索引时需要快速检索和更新索引。AVL树可以帮助优化这些操作。
  6. 缓存系统
    • 在实现缓存替换策略（如LRU，即最近最少使用策略）时，AVL树可以帮助维护一个有序的缓存项列表，从而快速确定哪些项应该被替换。
  7. 事件处理系统
    • 在需要按时间顺序处理事件的系统（如日历应用或任务调度器）中，AVL树可以用于维护一个有序的事件列表。
  8. 科学计算和模拟
    • 在科学计算和模拟中，经常需要快速查找、插入或删除数据点。AVL树可以提供一个高效的数据结构来支持这些操作。
  9. 金融交易系统
    • 实现自动补全、拼写检查或同义词查找等功能时，AVL树可以提供快速的词汇查找和插入。

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