文章目录
- 139.单词拆分
- 思路
- CPP代码
- 多重背包理论基础
- 处理输入
- 把所有个数大于1的物品展开成1个
- 开始迭代，计算dp数组
- 代码优化
- 背包问题总结篇
139.单词拆分
力扣题目链接
文章讲解：139.单词拆分
视频讲解：你的背包如何装满？| LeetCode：139.单词拆分
本题其实是可以使用回溯算法来写的，具体可以直接去看卡哥的文章：回溯算法和优化思路
如果使用动态规划应该怎么写呢？
题目中要求我们用wordDict中的元素，看能不能组合成字符串s，其实已经很直观了！
也就是说我们的物品是wordDict，背包容量是s，看这些物品能不能正好装满这个背包。同时，题目中说了我们的物品元素是能够使用多次的，所以本题是一道很奈斯的完全背包问题！
思路
- dp数组含义
如果这个字符串长度为i，如果能被wordDict的单词组成的话，那么dp[i]=true，最终的结果其实就是dp[s.size]到底是true还是false（我们用dp[0]来表示空字符串的状态）
- 递推公式
这个递推公式其实蛮复杂的该说不说。这里数形结合进行表示
如果 我们的dp[j]为true，并且我们的N子段为wordDict中的元素，那就可以完美推导出dp[i]也为true
if (wordSet.find(N) != wordSet.end() && dp[j]==true)
dp[i]=true
- 初始化
dp[0]初始化成true，如果dp[0]初始化成false的话对导致后面的推导全部是false。然后非零下标为了不影响赋值所以都初始化成false
- 遍历顺序
对于完全背包问题，两层for循环的讨论非常有必要，这里再次做总结
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
求组合数的题有：518.零钱兑换II
求排列数的题有：377. 组合总和 Ⅳ 、70. 爬楼梯进阶版（完全背包）
求最小数的题有：322. 零钱兑换 、279.完全平方数
在本题中，我们求的很明显是排列数，也就是说关注顺序，比如说s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”]
“apple”, “pen” 是物品，那么我们要求 物品的组合一定是 “apple” + “pen” + “apple” 才能组成 “applepenapple”。
“apple” + “apple” + “pen” 或者 “pen” + “apple” + “apple” 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。
所以本题一定是先遍历背包，再遍历物品。
- 打印
以输入: s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]为例，dp状态如图：
CPP代码
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
dp[0] = true;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < i; j++) { // 遍历物品
string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置，截取的个数)
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
dp[i] = true;
}
}
}
return dp[s.size()];
}
};
- 时间复杂度：O(n^3)，因为substr返回子串的副本是O(n)的复杂度（这里的n是substring的长度）
- 空间复杂度：O(n)
多重背包理论基础
卡码网第56题
文章讲解：多重背包理论基础
什么叫多重背包问题呢？其实就是在01背包的基础上多了一个物品数量的维度。
| 重量 | 价值 | 数量 | |
|---|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 | 2 |
| 物品1 | 3 | 20 | 3 |
| 物品2 | 4 | 30 | 2 |
可以转换成01背包问题吗？必须的
| 重量 | 价值 | 数量 | |
|---|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 | 1 |
| 物品0 | 1 | 15 | 1 |
| 物品1 | 3 | 20 | 1 |
| 物品1 | 3 | 20 | 1 |
| 物品1 | 3 | 20 | 1 |
| 物品2 | 4 | 30 | 1 |
| 物品2 | 4 | 30 | 1 |
处理输入
题目中谈到，“宇航舱最大容量为C”，即背包的最大容量为C；
“有N种不同的矿石”，表示物品的种类有N个；
每种矿石有一个重量w[i]，一个价值v[i]，以及最多k[i]个可用，这段描述可以确定是典型的多重背包问题。输入形式如下：
输入共包括四行，第一行包含两个整数 C 和 N，分别表示宇航舱的容量和矿石的种类数量。
接下来的三行，每行包含 N 个正整数。具体如下：
第二行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的重量。
第三行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的价格。
第四行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的可用数量上限。
int bagWeight, n;
cin >> bagWeight >> n;
vector<int> weight(n, 0);
vector<int> value(n, 0);
vector<int> nums(n, 0);
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
把所有个数大于1的物品展开成1个
展开的过程不在乎顺序，直接往对应数组后面插即可
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (nums[i] > 1) { //物品数量不是一的，都展开
weight.push_back(weight[i]);
value.push_back(value[i]);
nums[i]--
}
}
开始迭代，计算dp数组
完全按照01背包的搞法来整
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i];
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
代码优化
如果提交刚刚那段代码，我们会发现代码超时了！
我们再来审视一下之前的代码，其实出问题的就在于vector底层的动态扩容，虽然根据扩容操作的平摊事件时间复杂度，vector底层的动态扩容应该是O(1)，但是数据量较大的时候还是会遇到插入延迟，所以我们应该对其进行优化。
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (nums[i] > 1) { // 物品数量不是一的，都展开
weight.push_back(weight[i]);
value.push_back(value[i]);
nums[i]--;
}
}
- 我们可以先把所有物品数量都计算好，然后一起申请vector的空间。
//方法：reserve
// 计算总共需要的空间
int totalItems = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
totalItems += nums[i];
}
vector<int> expandedWeight;
vector<int> expandedValue;
expandedWeight.reserve(totalItems); // 预分配足够的空间
expandedValue.reserve(totalItems);
// 填充物品
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int count = 0; count < nums[i]; count++) {
expandedWeight.push_back(weight[i]);
expandedValue.push_back(value[i]);
}
}
//方法二：resize
// 计算总共需要的空间
int totalItems = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
totalItems += nums[i];
}
// 使用 resize 预设大小，并在原数组上操作
weight.resize(totalItems);
value.resize(totalItems);
int index = n; // 从原始数组大小开始填充新元素
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int count = 1; count < nums[i]; count++) { // 已有一个初始元素，所以从1开始
weight[index] = weight[i];
value[index] = value[i];
index++;
}
}
- 再就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面一起遍历
//最终代码
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
int bagWeight,n;
cin >> bagWeight >> n;
vector<int> weight(n, 0);
vector<int> value(n, 0);
vector<int> nums(n, 0);
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < n; i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
// 以上为01背包，然后加一个遍历个数
for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
}
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量
背包问题总结篇
背包问题中关于初始值的设定只有两种情况：
- 关于下标0的设定紧贴dp数组的含义
- 关于非零下标的设置要防止后续推导的值被覆盖
二刷后完成总结，这里先贴上卡哥的文章背包问题总结篇
