在 GRU（Gated Recurrent Unit）中，output 和 state 都是由 GRU 层的循环计算产生的，它们之间有直接的关系。state 实际上是 output 中最后一个时间步的隐藏状态。

GRU 的基本公式

GRU 的核心计算包括更新门（update gate）和重置门（reset gate），以及候选隐藏状态（candidate hidden state）。数学表达式如下：

1. 更新门 \( z_t \)： \[ z_t = \sigma(W_z \cdot h_{t-1} + U_z \cdot x_t) \]
      其中，\( \sigma \) 是sigmoid 函数，\( W_z \) 和 \( U_z \) 分别是对应于隐藏状态和输入的权重矩阵，\( h_{t-1} \) 是上一个时间步的隐藏状态，\( x_t \) 是当前时间步的输入。

2. 重置门 \( r_t \)：
      \[ r_t = \sigma(W_r \cdot h_{t-1} + U_r \cdot x_t) \]
      \( W_r \) 和 \( U_r \) 是更新门中定义的相似权重矩阵。

3. 候选隐藏状态 \( \tilde{h}_t \)：
      \[ \tilde{h}_t = \tanh(W \cdot r_t \odot h_{t-1} + U \cdot x_t) \]
      这里，\( \tanh \) 是激活函数，\( \odot \) 表示元素乘法（Hadamard product），\( W \) 和 \( U \) 是隐藏状态的权重矩阵。

4. 最终隐藏状态 \( h_t \)：
      \[ h_t = (1 - z_t) \odot h_{t-1} + z_t \odot \tilde{h}_t \]

output 和 state 的关系

• output：在 GRU 中，output 包含了序列中每个时间步的隐藏状态。具体来说，对于每个时间步 \( t \)，output 的第 \( t \) 个元素就是该时间步的隐藏状态 \( h_t \)。

• state：state 是 GRU 层最后一层的隐藏状态，也就是 output 中最后一个时间步的隐藏状态 \( h_{T-1} \)，其中 \( T \) 是序列的长度。

数学表达式

如果我们用 \( O \) 表示 output，\( S \) 表示 state，\( T \) 表示时间步的总数，那么：

\[ O = [h_0, h_1, ..., h_{T-1}] \]
\[ S = h_{T-1} \]

因此，state 实际上是 output 中最后一个元素，即 \( S = O[T-1] \)。

在 PyTorch 中，output 和 state 都是由 GRU 层的 `forward` 方法计算得到的。`output` 是一个三维张量，包含了序列中每个时间步的隐藏状态，而 `state` 是一个二维张量，仅包含最后一个时间步的隐藏状态。

代码示例

class Seq2SeqEncoder(d2l.Encoder):
"""⽤于序列到序列学习的循环神经⽹络编码器"""
    def __init__(self, vocab_size, embed_size, num_hiddens, num_layers,
dropout=0, **kwargs):
       super(Seq2SeqEncoder, self).__init__(**kwargs)
        # 嵌⼊层
       self.embedding = nn.Embedding(vocab_size, embed_size)
       self.rnn = nn.GRU(embed_size, num_hiddens, num_layers,
       dropout=dropout)

    def forward(self, X, *args):
    # 输出'X'的形状：(batch_size,num_steps,embed_size)
        X = self.embedding(X)
    # 在循环神经⽹络模型中，第⼀个轴对应于时间步
        X = X.permute(1, 0, 2)
    # 如果未提及状态，则默认为0
        output, state = self.rnn(X)
    # output的形状:(num_steps,batch_size,num_hiddens)
    # state的形状:(num_layers,batch_size,num_hiddens)
        return output, state

output：在完成所有时间步后，最后⼀层的隐状态的输出output是⼀个张量（output由编码器的循环层返回），其形状为（时间步数，批量⼤⼩，隐藏单元数）。

state：最后⼀个时间步的多层隐状态是state的形状是（隐藏层的数量，批量⼤⼩， 隐藏单元的数量）。