贪心算法（活动选择、分数背包问题）

news2024/11/16 11:57:01

一、贪心算法

贪心算法是指：在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择，而不从整体最优考虑，做出的仅是在某种意义上的局部最优解。 贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但能产生整体最优解或者其近似解。

基本思路：

通过一种贪心的想法，使得得到当前的局部最优解，从而拓展至整体最优解（不一定）。所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，换句话说，当考虑做何种选择的时候，我们只考虑对当前问题最佳的选择而不考虑子问题的结果。这是贪心算法可行的第一个基本要素。贪心算法以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。

贪心算法的弊端：

1.不能保证得到的最后解一定是最佳的，可能存在近似解（不保证一定的正确）。

2.不能用来求最大或最小解问题。

3.只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

二、活动选择问题

1.题目描述：

假定有一个n个活动（activity）的集合S={a1, a2, ..., an}，这些活动使用同一个资源（例如一个阶梯教室），而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。每个活动ai都有一个开始时间si和一个结束时间fi。如果两个活动[si, fi)和[sj, fj)不重叠，则称它们是兼容的

目标: 找到互相兼容的最大活动子集

互相兼容的最大活动子集样例：

2.贪心思想的策略

针对每个新活动，计算其与已经举办过的活动之间的兼容性。

①最早启动优先：对于所有活动，以 si 升序排列

②最短时长优先：以 fi - si 升序排列

③最少冲突优先：对于每个 i，统计与其冲突的活动数量 ci ，以 ci 升序排列

④最早结束优先：以 fi 升序排列

贪心算法不保证正确性，以上四种想法，对于 ① ② ③ 均存在反例验证出其错误。

3.贪心思想的正确性验证（最早结束优先）：

设E={a1,a2,.....,an}为活动集合，且E中的活动是按照活动结束时间升序排列的，显然a1为最早结束。设A是问题的一个最优解，明显A是E的一个子集，设A的第一个活动为k

① 若 k = a1，则A的第一个活动就是最早结束的，故A是以贪心选择开始的最优解

② 若 k ≠ a1，设集合B=（A-{k}）∪a1 ，即用活动a1可替换掉活动k

因为 $a_{1}$ 的结束时间小于 $k$ ，故 $a_{1}$ 比 $k$ 提前结束。另外由于A中的活动是相容的，故B中的活动也相容。 又因为A中的活动个数和B中的活动个数相同，故B也是最优解(需要注意的是最优解一般不唯一)。所以 B 是一个以贪心选择活动 a1 为开始后的最优解。

或者另一种想法：

对于最早结束的第一个活动 a1，局部最优解考虑a1，再考虑 a2 ：

若 s2>f1 a1，a2 兼容，则问题只需要考虑 a2 ~ an，问题变成了子问题 a2 ~ an 。

若 s2<f1 a1，a2 冲突，不考虑 a1，令 a2 为最优解的第一个活动，则此时在 a3~an 的最优解中，加上 a1 或者 a2 的活动（不冲突时），才成为整体的最优解。此时考虑 a1 或者 a2 都是最优解，活动兼容的个数都相同，所以此贪心思想是正确的。

4. 此外该问题还存在另一种贪心思想：

选择最晚开始的活动依次排序考虑，其他与上述思想一致。

三、拓展问题：最少资源投入

1.问题描述

假定有一个n个活动的集合S={a1, a2, ..., an}，这些活动可以同时使用多个资源（例如一个阶梯教室），但一个资源在某个时刻只能供一个活动使用。每个活动 ai 都有一个开始时间 si 和一个结束时间 fi 。如果两个活动 [ si , fi ) 和 [ sj , fj ) 不重叠，则称它们是兼容的

目标: 找到最少资源数量，使得所有活动能够正常举行.

2.贪心思想：

①首先将所有课程按照开始时间升序排列，并且将每门课程赋予任何可兼容的教室。

②通过维护一个优先队列，按照结束时间升序排列（队列首端的结束时间最早），队列中的每个元素对应着各教室的结束时间。

③这样当新的一个活动加入时，只需要与队首元素对应的结束时间比较，若大于结束时间则直接替换，若小于最早的结束时间，则需要加入一个元素（添加一个新的教室）。