一.题目
在链表相关题目中，有一道非常经典的题目：带环链表(链接：141. 环形链表 - 力扣（LeetCode））。带环链表尾节点的next指针指向其他节点，因此遍历一个带环链表将是一个死循环，这是带环链表的基本特征，如示例所示。
二.解题
此题使用快慢指针能轻松解决。定义快指针fast和慢指针slow，快指针一次前进两步，慢指针一次前进一步，如此快指针一直领先于慢指针，率先进入环内，而后慢指针才进入环中，而后如果快指针追上了慢指针，那么就是带环链表。代码实现如下：可以看见是通过测试的
bool hasCycle(struct ListNode *head) {
//定义快慢指针
struct ListNode* fast = head,*slow = head;
//若不是带环则遇到尾节点或 NULL停止
while(fast && fast->next)
{
fast = fast->next->next;
slow = slow->next;
if(fast == slow)
{
return true;
}
}
return false;
}
三.证明
然而这种写法真的合理吗，为什么快指针一定能追上慢指针，难道不存在一直错开的情况吗？
其实就上述代码而言，证明是很容易的。fast快指针一定快于slow慢指针进入环中，因此当slow刚好进入环中时，fast要么跟slow重合（特殊情况，此时直接就能判断带环了），要么有一定距离，令这距离为N，由于fast一次走两步，slow一次走一步，因此在环中每次移动fast距离slow的距离就会减1，N通过不断的减1终会减到0，此时fast和slow就重合了，因此这是一定能追上的。
四.拓展
上述证明只适用于fast走两步的情况，那么fast走三步，四步，五步，N步呢？我们改为fast一次走三步试一试，发现过关，改为四步试一试，仍然过关。
证明过程与上文相同吗？不一样，更为复杂，但证明过程是类似的，这里以走三步为例进行一次分析。
无论fast一次走几步，必然比slow快，更早进入环中，因此当slow进入环中时，fast必然和slow有一个距离N（N为0则直接判断为带环），fast每次走三步，速度差则为两步，因此N每次减2,能否减到0呢？若N为偶数，必然能减到0（此时fast和slow重合，则判断带环），若为奇数，那么最后会减到-1，即fast没有与slow重合，而是又超过了一步，那么此时fast要追上slow的距离则变为了C-1（C位环的节点数），此时又回到了距离的奇偶判断，若C-1为偶，则最后能为0，若C-1为奇，那么最后又会超过一步，永远无法重合。
那么总结一下，fast和slow一直无法重合的条件是：N为奇数并且C-1为奇数。即N为奇数并且C位偶数。 那么，这可能存在吗?使用简单的数学推导能得到：2L = （X+1）* C – N
能满足N为奇数并且C位偶数吗？这是不可能的，因为2L必然为偶数，而（X+1）*C也必然为偶数（一个数乘以偶数必然为偶数），N为奇数，偶数减奇数必然为奇数，这与2L为偶数相矛盾，因此不存在该情况，也就是说必然能追上。
五.相关题目
再来看一道与环形链表相关的题目：找到入环点（141. 环形链表 - 力扣（LeetCode））
进行简单的数学推理得到：L = X*（C-1）+ C - N，其中X*(C-1)就是绕圈而已，在图中清晰可见，这样我们就有了思路：让head从头开始遍历L，此时另一个指针从相遇点开始遍历，等到他们相遇时，此时就是第一个入环点。代码如下：
struct ListNode *detectCycle(struct ListNode *head) {
struct ListNode* fast = head,*slow = head;
while(fast && fast->next)
{
fast = fast->next->next;
slow = slow->next;
if(fast == slow)
{
struct ListNode* meet = fast;
while(fast != head)
{
head = head->next;
fast = fast->next;
}
return fast;
}
}
return NULL;
}
