【面试经典 150 | 二叉树】完全二叉树的节点个数

news2025/2/25 3:46:40

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题目来源
解题思路
- 方法一：遍历统计
- 方法二：二分查找+位运算
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本专栏专注于分析与讲解【面试经典150】算法，两到三天更新一篇文章，欢迎催更……

专栏内容以分析题目为主，并附带一些对于本题涉及到的数据结构等内容进行回顾与总结，文章结构大致如下，部分内容会有增删：

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题目来源：贴上题目的链接，方便大家查找题目并完成练习；
题目解读：复述题目（确保自己真的理解题目意思），并强调一些题目重点信息；
解题思路：介绍一些解题思路，每种解题思路包括思路讲解、实现代码以及复杂度分析；
知识回忆：针对今天介绍的题目中的重点内容、数据结构进行回顾总结。

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【完全二叉树】【二分+位运算】

题目来源

222. 完全二叉树的节点个数

解题思路

方法一：遍历统计

思路

使用前序、中序、后序以及层序遍历中的任何一种遍历方法，即可统计完全二叉树的节点个数。这个方法也适应一切二叉树。

以下是前序遍历方法的迭代实现。

代码

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
private:
    int res = 0;
public:
    void preOrder(TreeNode* root) {
        if (!root) {
            return;
        }
        res += 1;
        preOrder(root->left);
        preOrder(root->right);
    }

    int countNodes(TreeNode* root) {
        preOrder(root);
        return res;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： $O (n)$ ， $n$ 是完全二叉树的节点数。

空间复杂度： $O (n)$ 。

方法二：二分查找+位运算

方法一没有用到 完全二叉树 这个条件，仅仅是使用一般的方法就可以解答。

现在考虑如何充分利用完全二叉树这个条件。完全二叉树除了最后一层可能不满，其余每一层都是满的。这样的话，我们可以直接计算二叉树的前 h-1 层的节点总数（设完全二叉树一共 h 层）。当 $\le i < h$ 时，第 $i$ 层包含 $2^i$ 个节点，前 h-1 层的节点共计：

$\sum_{i=0}^{h-1}{2^i}$

最后一层的节点数怎么求呢？因为是完全二叉树，所以最后一层的节点数范围为 $1, 2^h]$ 。于是对于最大层数为 h 的完全二叉树，节点个数一定在 $2^h, 2^{h+1}-1]$ 范围内。

此时可以通过二分查找确定完全二叉树的节点个数。

具体地，根据节点个数范围的上下界得到当前需要判断的节点个数 k，如果第 k 个节点存在，则节点个数一定 大于等于 k；如果第 k 个节点不存在，则节点个数一定小于 k，由此可以将查找范围缩小一半，直到得到节点个数。

位运算

如何判断第 k 个节点是否存在呢？如果第 k 个节点位于第 h 层，则 k 的二进制表示包含 h+1（0 到 h）位，其中最高位是 1。其余各位从高到低表示从根节点到第 k 个节点的路径，0 表示移动到左子节点，1 表示移动到右子节点。通过位运算得到第 k 个节点对应的路径，判断该路径对应的节点是否存在，即可判断第 k 个节点是否存在。

示例 1 的完全二叉树以及二进制位表示以及如何查找指定节点如图所示。

代码

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    bool exits(TreeNode* root, int depth, int mid) {
        int bits = 1 << (depth - 1);        // 
        TreeNode* node = root;
        while(node != nullptr && bits > 0) {
            if ((bits & mid)) {
                node = node->right;
            }
            else {
                node = node->left;
            }
            bits >>= 1;
        }
        return node != nullptr;
    }

    int countNodes(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) {
            return 0;
        }

        // 求完全二叉树最大深度 h
        int depth = 0;
        TreeNode* node = root;
        while(node->left != nullptr) {
            ++depth;
            node = node->left;
        }

        // 确定二分法的二分范围 2^{h} 到 2^{h+1}-1
        int low = 1 << depth;
        int high = (1 << (depth + 1)) - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low + 1) / 2 + low;
            if (exits(root, depth, mid)) {
                low = mid;
            }
            else {
                high = mid - 1;
            }
        }
        return low;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： $O(log^2n)$ ，其中 $n$ 是完全二叉树的节点数。首先需要 $O (h)$ 的时间得到完全二叉树的最大层数，其中 $h$ 是完全二叉树的最大层数。
使用二分查找确定节点个数时，需要查找的次数为 $O(log⁡^2h)=O(h)$ ，每次查找需要遍历从根节点开始的一条长度为 $h$ 的路径，需要 $O (h)$ 的时间，因此二分查找的总时间复杂度是 $O(h^2)$ ，由于本题是二叉搜索树所以有 $O (h) = O (l o g n)$ ，因方法二的时间复杂度为 $O(log^2n)$ 。