1. 图的定义、构成和术语

图(Graph)，我们可以把它定义成一个二元组 $G = (V, E)$ 。其中 $V$ 代表 $\text{Vertices Set}$ ，即顶集，顶集中的元素称为顶点(Vertex)，写作 $V (G)$ ； $E$ 代表 $\text{Edges Set}$ ，即边集，边集中的元素称为边(Edge)，写作 $E (G)$ 。 $V, E$ 无交集。 $E$ 中的元素也是二元组，为 $(x, y)$ ，且 $x,y\in V$ 。

图还有一种三元组的定义，这里不再赘述，感兴趣的读者可以自行查阅。

以上定义可能较为形式化，较难理解。读者一会可以通过下面的例子来理解。

图还分为有向图和无向图——也就是说，有向图的边有方向，即有向边，无向图的边无方向，即无向边。特殊地，如果一个图的边带有权值，则称为带权图。
以下分别展示了有向图、无向图、无向带权图。同时我会用形式语言、通俗语言和举例来帮助大家更好理解。

$G$ 中点集 $V$ 的大小，称作图 $G$ 的阶(Order)。
一个图中顶点的个数，就是一个图的阶。
图 $1\sim 3$ 的阶都是 $6$ 。
当存在图 $G^{'} = (V^{'}, E^{'})$ ，其中 $V'\in V，E'\in E$ ，则 $G^{'}$ 称作图 $G = (V, E)$ 的子图(Sub-Graph)。
从一个图中“抠”下来的图（即两个图具有包含关系），则被包含的图是另一个图的子图。
图 $1\sim 3$ 分别都是各自的子图。
当存在图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的子图，且 $V (G^{'}) = V (G)$ ，则称为图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的生成子图(Spanning Sub-Graph)。
一个图是另一个图的子图，且这两个图顶点数相同，则这个子图是另一个图的生成子图。
图 $1$ 中，若去掉了 $1\to 5,1\to 3$ ，则所产生的图就是原图的生成子图。
与一个顶点 $V$ 相关联的边的条数，称为 $V$ 的度(Degree)，记作 $d (V)$ 。
在一个图中的一个顶点，和它相连的边的条数，就是它的度。
图 $2$ 中， $5$ 的度为 $4$ ， $2$ 的度为 $2$ ， $1$ 的度为 $3$ 。
对于有向图，与一个顶点 $V$ 相关联的边中，以 $V$ 为终点的边的个数，称为 $V$ 的入度(In-Degree)，这些边称为入边(In-Edge)；与一个顶点 $V$ 相关联的边中，以 $V$ 为起点的边的个数，称为 $V$ 的出度(Out-Degree)，这些边称为出边(Out-Edge)。
有向图中的一个顶点，所有指向它的边的个数，就是它的入度，这些边是入边；除了这些边以外和它相连的边的条数，就是它的出度，这些边是出边。
图 $1$ 中， $5$ 的入度为 $3$ ，出度为 $1$ ； $6$ 的入度为 $3$ ，出度为 $0$ 。
若一条边的两个顶点相同，则这条边是一个自环(Loop)（并查集的初始化其实就是自环）。
图中的一条闭合的路径，称为环(Circuit)。

以上是一些基本的概念，其他大多数概念可以通过逐步的学习理解。
另外注意：树是一种特殊的图。

2. 图的存储

和「数据结构详解·一」树的初步的第二部分相同。
无向图连接 $u, v$ ，就是 g[u][v]=g[v][u]=1;；有向图就是 g[u][v]=1;。
但是这里再补充一部分内容。

2-1. 边表

不常用。主要在 Kruskal（一种最小生成树算法，将在以后讲到）等算法中用到。
直接用结构体存， $g_i=(u,v)$ 。对于无向图，表示 $u - v$ ；对于有向图，表示 $u\to v$ 。

struct node{
	int u,v;
}g[100005];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>a[i].u>>a[i].v;
	}
	//...
}

对于寻找与结点 $x$ 相连的边，需要 $O (m)$ 的时间，显然很慢，故不常用。

2-2. 带权图的存储

邻接矩阵只要将 g[u][v]=1; 变为 g[u][v]=w; 即可，但是缺点是无法存重边（比如，输入中给出了 u=1 v=2 w=3 和 u=1 v=2 w=-2，意味着 $1, 2$ 间有两条边）。另外，矩阵初始化要变为 $+\infin$ 或 $-\infin$ 以表示两条边未连接（因为可能有负权边）。

邻接表只要用 pair 或结构体来代替 vector 中的内容（对于 $a_x$ 有 $y, z$ 分别代表连接的边和权值），无需担心重边。

边表和邻接表类似，修改结构体的内容即可。

3. 图的遍历

所有代码均为邻接表存储。

3-1. 深度优先遍历(DFS)

和「数据结构详解·一」树的初步 $\mathbf{4-1}$ 类似，但是由于图的特性，我们要记录 $f_i$ 表示其是否走过。

void dfs(int p)//p 为当前节点编号
{
	if(f[p]) return;//走过了
	cout<<p<<' ';
	f[p]=1;
	for(auto i:g[p])
	{
		dfs(i);
	}
}

3-2. 广度优先遍历(BFS)

和「数据结构详解·一」树的初步 $\mathbf{4-3}$ 类似，但是由于图的特性，我们要记录 $f_i$ 表示其是否走过。

queue<int>q;
void bfs()
{
	q.push(root);//root 为遍历的起始节点
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		if(f[x]) continue;
		f[x]=1;
		cout<<x<<' ';
		for(auto i:g[x])
		{
			q.push(i);
		}
	}
}

4. 例题详解

4-1. Luogu P5318 【深基18.例3】查找文献

只要将本文章的 $\mathbf{3}$ 的内容套用即可。

4-2. Luogu P3916 图的遍历

如果我们直接暴力对于每个点查找，那是必定超时的。
题目问的是每个点所到达编号最大的点，那我们可以先反向建图，然后编号从大到小搜索，第一次搜索到的点就是答案（因为第二次搜到时编号因为是越来越小，因此不会比之前大）。
那这样的话，每个点只会遍历的到一次，时间复杂度由 $O ((n + m) n)$ 变为了 $O (n + m)$ 。
参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int>g[100005];
int n,m,ans[100005];

void dfs(int fr,int p)
{
	if(ans[p]) return;//搜过了
	ans[p]=fr;
	for(auto i:g[p])
	{
		dfs(fr,i);
	}
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	while(m--)
	{
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g[v].push_back(u);//反向建图
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		dfs(i,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cout<<ans[i]<<' ';
	}
 	return 0;
}