01背包问题

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<vector>
#include<cmath>
int main()
{
    int M=0;    //材料数
    int N=0;    //背包容量
    std::cin>>M>>N;
    std::vector<int>space(M,0);
    for(int i=0;i<M;i++) std::cin>>space[i];
    std::vector<int>value(M,0);
    for(int i=0;i<M;i++)std::cin>>value[i];

    std::vector<std::vector<int>>dp(M+1,std::vector<int>(N+1,0));
    //考虑物品1-i时，背包容量为j情况下，最大价值量
    //dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j-weight[i]] + value[i],dp[i-1][j]);
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        for(int j=1;j<=N;j++)
        {
            if(j>=space[i-1])
            dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j-space[i-1]] + value[i-1],dp[i-1][j]);
            else 
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
    std::cout<<dp[M][N];
    
}

二维数组处理01背包特点是：
背包和物品的遍历顺序可以调换。
背包容量从小到大更好理解。
如果采用一维数组进行滚动呢？

int main()
{
    int M=0;    //材料数
    int N=0;    //背包容量
    std::cin>>M>>N;
    std::vector<int>space(M,0);
    for(int i=0;i<M;i++) std::cin>>space[i];
    std::vector<int>value(M,0);
    for(int i=0;i<M;i++)std::cin>>value[i];
    std::vector<int>dp(N+1,0);
    // std::vector<std::vector<int>>dp(M+1,std::vector<int>(N+1,0));
    //考虑物品1-i时，背包容量为j情况下，最大价值量
    //dp[i][j] = std::max(dp[i-1][j-weight[i]] + value[i],dp[i-1][j]);
    for(int i=1;i<=M;i++)
    {
        for(int j=N;j>=1;j--)
        {
            if(j>=space[i-1])
            dp[j] = std::max(dp[j-space[i-1]] + value[i-1],dp[j]);
            else 
            dp[j] = dp[j];
        }
    }
    std::cout<<dp[N];
}

可以发现，这里最大的变化就是背包容量是从大到小遍历了。因为：数组的递推以来上一个物品和更小的重量。二维情况下是因为相关数据存储在了上一行，所以从小到大遍历。但是一维数组情况下，如果从小到大遍历将会覆盖上一个物品的数据。那么现在物品和背包容量的遍历顺序还可以调换吗？答案是不能！！！
滚动数组处理01背包特点是：
物品遍历在外，背包从大到小。

完全背包问题

如果一个物品可以添加无数次呢？应该怎么处理？
如果用二维数组解，那么内部还需要多一个对物品数量的for循环。
如果用滚动数组解呢？
这里直接给结论：物品、容量遍历顺序随意，但是容量需要从小到大遍历！

一般情况下，在手撕过程中不可能有时间推导这些，所以请记住两种背包的结论：
滚动数组01背包： 物品先容量后(必须)， 容量从大到小(必须)
滚动数组完全背包：物品先容量后(非必须)，容量从小到大(必须)

完全背包的排列组合问题

虽然一般情况下，完全背包的容量问题可以不考虑遍历顺序，但是如果是排列组合问题，就需要考虑遍历顺序了！
结论：
如果求组合，那么物品遍历在外(可以理解为物品加入的顺序是定的)
如果求排列，那么物品遍历在内(可以理解为物品多次循环，因此物品顺序不定)
代码随想录相关练习