蓝桥杯2023A-05-互质数(Java)

news2024/11/24 16:41:32

5.互质数

题目描述

给定 a, b，求 1 ≤ x < a^b 中有多少个 x 与 a^b 互质。由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353 取模的结果。

输入格式

输入一行包含两个整数分别表示 a, b，用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

样例输入

2 5

样例输出

题目分析

1.快速幂求解a^b: 要想求解a^b对于b的值越来越大，可能会导致运算超时，此时我们可以使用快速幂算法，通过快速幂算法我们可以很快的求解出a^b的值
    
2.欧拉降指数函数:如果要求 1 ≤ x < a^b 中有多少个 x 与 a^b 互质，可以采用欧拉函数
    
3.结合上面俩个关键点我们便可解决此题，下面一一介绍这两种算法

快速幂算法

介绍

快速幂算法（Fast Exponentiation Algorithm）是一种用于快速计算大数的指数幂的算法。在计算机科学和数学中，它是一种高效的方法，用于计算形如 x^n 的表达式，其中 x 是任意实数，n 是一个非负整数。传统的指数运算方法的时间复杂度为 O(n)，而快速幂算法的时间复杂度为 O(log n)，因此在处理大数时非常高效。

实现思路

这个算法的基本思想是利用指数的二进制表示。例如，若指数 n 的二进制表示为 1101，那么 x^n 就可以分解为 x^(2^0) * x^(2^2) * x^(2^3)，其中指数的二进制表示中，为 1 的位置对应着 x^n 中需要相乘的部分。这样就可以通过分治的方式，快速计算出 x^n。

Java代码

举例说明：
1024^105
对于整数105的可以分解为64 + 32 + 8 + 1
转换成二进制数可以表现为1101001
1024^1 = 1024
1024^2 = 1024^1024
1024^4 = 1024^2 * 1024^2
1024^8 = 1024^4 * 1024^4
1024^16 = 1024^8*1024^8
1024^32 = 1024^16*1024^16
1024^64 = 1024^64*1024^64

private static long quickPower(long a, long b) {//a为底数， b为指数
	long result = 1;
    while(b > 0) {
        if (b & 1 == 1) {//如果二进制末位为1
            result = result * a;
        }
        a = a * a;//表示每一位二进制数要乘的数
        b = b >> 1;//将二进制数向右移动一位进行缩小  
    }
    return result；
}

欧拉函数

介绍

欧拉函数（Euler's Totient Function）是一个在数论中非常重要的函数，通常用符号φ(n)表示。对于正整数n，欧拉函数φ(n)定义为小于等于n且与n互质的正整数的个数。
例如，当n=8时，与8互质的正整数是1, 3, 5, 7，因此φ(8) = 4。

性质：

欧拉函数有许多有用的性质，其中一些包括：
1. 若p为质数，则φ(p) = p - 1。这是因为质数p的所有小于p的正整数都与p互质。
2. 若m和n互质，则φ(mn) = φ(m)φ(n)。这是欧拉函数的乘性性质。
3. 对于任意正整数n，欧拉函数满足以下的递归关系式：若n可以分解为素数因子的乘积，则φ(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...(1 - 1/pk)，其中p1, p2, ..., pk是n的不同素因子。

Java实现：

初始化结果为n。
对n进行质因数分解，从2开始逐个检查可能的质因数i。
如果当前数能够整除n，则说明i是n的一个质因数，进入循环，不断将n除以i，直到不能整除为止，排除掉n中所有的i因数。
更新result，减去由i引起的不同的因子个数，即result除以i的整数部分。
处理剩余的质因数，如果n大于1，说明n本身就是一个质数，更新result，减去由n引起的不同的因子个数，即result除以n的整数部分。
返回最终计算结果。

举例
n = 15
n % 2 ！=0 表明2不是n的因数
n % 3 == 0 表明3是n的因数
    n/3 = 5
    result = result - result / 3 表明小于n的质因数不是3的倍数
	/*由于 4 * 4大于15，因而4之后的元素要么重复，要么不是15的质因数，即i*i <= n
	解释：对于p * q = n 必然存在一个较大的p和一个较小的q(或者二者相等，若q*q大于n则p和q一定不是n的质数)
	*/
剩余较大的因数n = 5
    result = result - result / 5为最终结果


private static long Euler(long n) {// 计算欧拉函数值

    long result = n; // 初始化结果为n

    // 对n进行质因数分解
    for (long i = 2; i * i <= n; i++) { // 从2开始逐个检查可能的质因数
        if (n % i == 0) { // 如果当前数能够整除n，即i是n的一个质因数
            while (n % i == 0) { // 循环直到n不能再被i整除为止，排除掉n中所有的i因数
                n /= i; // 不断将n除以i，直到不能整除为止
            }
            result = result - result / i; 
            // 更新result，减去由i引起的不同的因子个数，即result除以i的整数部分
        }
    }

    // 处理剩余的质因数
    if (n > 1) { // 如果n本身就是一个质数
        result = result - result / n; 
        // 更新result，减去由n引起的不同的因子个数，即result除以n的整数部分
    }

    return result; // 返回最终计算结果
}

Java代码实现

static final long MOD = 998244353;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long a = sc.nextLong();
        long b = sc.nextLong();

        //欲求小于等于a^b有几个质数与其互质
        //1.要求小于等于某个数并与其互质个数--->欧拉函数
        //2.要求某个数的幂次--->快速幂算法
        System.out.println(Euler(a) * quickPower(a, b - 1) % MOD);

    }

    //欧拉降指数函数，用符号φ(n)表示，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
    private static long Euler(long n) {// 10
        long result = n; // 初始化结果为n

        // 对n进行质因数分解
        for (long i = 2; i * i <= n; i++) {// 2是质数
            if (n % i == 0) {// 如果n模2为0，表明存在公因式为2的因数
                while (n % i == 0) {// 一直与2取余数并除以2使得结果中不再有2的因数
                    n /= i;
                }
                result = result - result / i;
            }
        }

        // 处理剩余的质因数
        if (n > 1) {
            result = result - result / n;
        }
        return result;
    }

    //快速幂函数
    private static long quickPower(long a, long b) {
        long result = 1;
        while (b > 0) {
            //判断末尾位是否在二进制中为1
            if ((b & 1) == 1) {
                result = (result * a) % MOD;  // 对结果取模，避免溢出
            }
            a = (a * a) % MOD;  // 对中间结果取模，避免溢出
            //将二进制数向右移1位，使得去掉末尾
            b = b >> 1;
        }
        return result;
    }