本篇为本科课程《电力系统稳态分析》的笔记。

本篇这一章的第三篇笔记。上一篇传送门。

标幺制和电网等值电路

标幺制

标幺值的定义

标幺值是一种相对值，是某种物理量的有名值和所选定的与有名值同单位的基准值之比，即：
$$标幺值=\frac{有名值}{基准值}$$

显然标幺值是一个无量纲的值。

基准值的选取

这里使用下标*来表示标幺值，用下表B表示基准值。

基准值的取定标准：

• 必须和物理量同量级，同量纲，为实数。
• 物理量的基准值必须满足物理定律方程。

基准值的选取：

• 一般先选定$S_B$，取50MVA或100MVA。
• 再选定$U_B$，取100kV，750kV，500kV，220kV，110kV，35kV，10kV，0.005kV。要求$U_{\ast }$在0.95~1.05之间。$U_B$一般取得是网络中的额定电压$U_N$。
• 然后根据功率公式$S_B=\sqrt{3}{U}_B{I}_B$计算出电流的基准值$I_B=\frac{S_B}{\sqrt{3}{U}_B}$。
• 如果存在变压器，那么变压器两端的电压基准值需要经过折算。例如一个变压器的左右电压比为$U_{1N}/U_{2N}$，左侧的电压基准值是$U_{1B}$，那么右侧的电压基准值是$U_{2B}=U_{1B}\frac{U_{2N}}{U_{1N}}$。
• 随后可以根据电压和电流的基准值，计算出阻抗和导纳的基准值：$U_B=\sqrt{3}{Z}_B{I}_B\Rightarrow Z_B=\frac{U_B}{\sqrt{3}{I}_B}=\frac{U_B^2}{S_B}$和$Y_B=\frac{1}{Z_B}=\frac{S_B}{U_B}$

标幺值的计算

1. 功率的标幺值：$\widetilde{S_{\ast }}=\frac{P+jQ}{S_B}=\frac{P}{S_B}+j\frac{Q}{S_B}=P_{\ast }+J{Q}_{\ast }$
2. 线电压的标幺值：${\dot{U}}_{\ast }=\frac{\dot{U}}{U_B}=\frac{U_R+j{U}_I}{U_B}=U_{R\ast }+j{U}_{I\ast }$
3. 线电流的标幺值：${\dot{I}}_{\ast }=\frac{\dot{I}}{I_B}=\frac{I_R+j{I}_I}{I_B}=I_{R\ast }+j{I}_{I\ast }$
4. 阻抗的标幺值：$Z_{\ast }=\frac{Z}{Z_B}=\frac{R+jX}{Z_B}=R_{\ast }+j{X}_{\ast }$
5. 导纳的标幺值：$Z_{\ast }=\frac{Z}{Z_B}=\frac{R+jX}{Z_B}=R_{\ast }+j{X}_{\ast }$
6. 功率因数和用弧度表示的各种相角，本身是没有量纲的，自己就是标幺值。

标幺制下的物理方程

$$\begin{gathered} \tilde{S}=\sqrt{3}\dot{U}{\dot{I}}^{\ast } \\ {S}_B=\sqrt{3}{U}_B{I}_B \\ \Rightarrow {\tilde{S}}_{\ast }={\dot{U}}_{\ast }{\dot{I}}_{\ast }^{\ast } \end{gathered}$$

可见标幺制下的视在功率计算公式和单相下的计算公式相同。

$$\begin{gathered} \dot{U}=\sqrt{3}\dot{I}Z \\ {U}_B=\sqrt{3}{Z}_B{I}_B \\ \Rightarrow {\dot{U}}_{\ast }={\dot{I}}_{\ast }{Z}_{\ast } \end{gathered}$$

同理可得${\dot{I}}_{\ast }={\dot{U}}_{\ast }{Y}_{\ast }$

串联阻抗的功率损耗

$$\begin{gathered} \Delta {\tilde{S}}_Z=\sqrt{3}\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }=\sqrt{3}(\sqrt{3}\dot{I}Z){\dot{I}}^{\ast }=3\dot{I}{\dot{I}}^{\ast }Z=3\frac{S}{\sqrt{3}U}\frac{S^{\ast }}{\sqrt{3}{U}^{\ast }}Z=\frac{S^2}{U^2}Z=\frac{P^2+Q^2}{U^2}Z \\ \Delta {\tilde{S}}_{Z\ast }=\frac{\Delta \tilde{S}}{S_B}=\frac{P^2+Q^2}{S_B^2}\frac{Z}{U^2}{S}_B=\frac{P^2+Q^2}{S_B^2}\frac{Z}{U^2}\frac{U_B^2}{Z_B^2}=\frac{P_{\ast }^2+Q_{\ast }^2}{U_{\ast }^2}{Z}_{\ast } \end{gathered}$$

并联导纳的功率损耗

$$\begin{gathered} \Delta {\tilde{S}}_Y=\sqrt{3}\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }=\sqrt{3}\dot{U}{\left(\frac{\dot{U}}{\sqrt{3}}Y\right)}^{\ast }=U^2{Y}^{\ast } \\ \Delta {\tilde{S}}_{Y\ast }=\frac{\Delta {\tilde{S}}_Y}{S_B}=\frac{U^2{Y}^{\ast }}{U_B^2{Y}_B}=U_{\ast }^2{Y}_{\ast }^{\ast } \end{gathered}$$

变压器两侧的电压标幺值

如图所示，变压器左右的变比是$U_{1N}/U_{2N}$，设左侧电压为$U_2$，右侧电压为$U_2^{\prime }$，那么存在关系$U_2=U_2^{\prime }\frac{U_{1N}}{U_{2N}}$，设左侧的电压基准值是$U_{1B}$，那么右侧的电压基准值是$U_{2B}=U_{1B}\frac{U_{2N}}{U_{1N}}$，所以可以计算出两侧电压标幺值：

$$U_{2\ast }=\frac{U_2}{U_{1B}}=\frac{U_2^{\prime }\frac{U_{1N}}{U_{2N}}}{U_{2B}\frac{U_{1N}}{U_{2N}}}=U_{2\ast }^{\prime }$$
可见变压器不会改变两侧电压值的标幺值。

电网的标幺值等值电路

多电压等级电网的标幺值等值电路

一般使用一种带有变比的等值电路来反映其各侧的真实电压和电流值，而不是使用前面说过的变压器等值电路。这样，多电压等级网络之间的参数和电压电流无需再进行折算。

1. 计算各个元件的本位有名值，即计算变压器的$Z_T,Y_T$和线路的$Z_L,Y_L$，这个值需要折算到任意的一侧。
2. 确定全系统的功率基准值$S_B$。
3. 确定各线路或网路的额定电压即基准电压为$U_B$。
4. 根据选定的功率和电压基准值，导出其他的基准值：$Z_B=\frac{U_B^2}{S_B},Y_B=\frac{S_B}{U_B^2}$。
5. 对于一个变压器，引入标幺制的变化：
   • 运行变比为两侧绕组实际电压之比：$k_t=\frac{U_{2t}}{U_{1t}}$
   • 额定变比为两侧绕组额定电压之比：$k_N=\frac{U_{2N}}{U_{1N}}$
   • 基准变比为两侧绕组基准电压之比：$k_B=\frac{U_{2B}}{U_{1B}}$
   • 标幺变比为：$k_{\ast }=\frac{\frac{U_{2t}}{U_{1t}}}{\frac{U_{2B}}{U_{1B}}}=\frac{k_t}{k_B}$，反映的是两侧实际电压的标幺值的比。

双绕组变压器的标幺值等值电路

如图所示，有一段变压器，还有一段导线，在右侧二次侧。将变压器画出带有变化的等值电路，将导线画成其等值电路。将导线的阻抗折算到一次侧，然后计算这个等值电路的标幺值。

先进行导线阻抗的折算：
$$Z_L^{\prime }=Z_L(\frac{U_{1t}}{U_{2t}})$$
然后确定一下电压基准值：$U_B=U_{LN1}$，即选取一次侧/左侧的线电压额定值为电压基准值，所以导出阻抗的基准值为：
$$Z_B=\frac{U_B^2}{S_B}=\frac{U_{LN1}^2}{S_B}$$

然后把变压器的参数算出标幺值：
$$\begin{gathered} Z_{T\ast }=\frac{Z_T}{Z_B}=Z_T\frac{S_B}{U_{LN1}^2} \\ {Y}_{T\ast }=\frac{Y_T}{Y_B}=Y_T\frac{U_{LN1}^2}{S_B} \end{gathered}$$

再算出导线的标幺值：
$$Z_{L\ast }^{\prime }=\frac{Z_L^{\prime }}{Z_B}=\frac{Z_L}{Z_B}{\left(\frac{U_{1t}}{U_{2t}}\right)}^2{\left(\frac{U_{LN2}}{U_{LN1}}\right)}^2=Z_{L\ast }\frac{1}{k_{\ast }^2}$$

三绕组变压器的等效

如图所示。

变压器的$\Pi$型等值电路

将理想变压器和与他相串联的的阻抗用一个等值电路来代替，那么整个系统的等值电路就会全部由串联阻抗和并联接地的导纳组成，消除了全部的变压器。

为了简洁，做出以下的处理：

1. 将励磁的并联导纳暂时拿掉，将剩下的部分做出$\Pi$型等值电路之后再将并联的导纳放回。
2. 将标幺值的下标*全部略去。
3. 变压器的漏阻抗用Z_T表示。

如下图所示，就是简化后的带变比的一半等值电路。

然后可以列出上面这个电路的两端口关系：
$$\begin{gathered} {\dot{U}}_2=({\dot{U}}_1-Z_T{\dot{I}}_1)k \\ {\dot{I}}_2=-\frac{{\dot{I}}_1}{k} \end{gathered}$$

所以可以写成矩阵的形式：

$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{Z_T}& -\frac{1}{k{Z}_T}\\ -\frac{1}{k{Z}_T}& \frac{1}{k^2{Z}_T}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{U}}_1\\ {\dot{U}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\dot{I}}_1\\ {\dot{I}}_2\end{array}\right]$$

可以根据上面的关系，画出$\Pi$型等值电路，其中的阻抗和导纳是：
$$\begin{gathered} Z_{\Pi }=k{Z}_T \\ {Y}_{\Pi 1}=\frac{k-1}{k{Z}_T} \\ {Y}_{\Pi 2}=\frac{1-k}{k^2{Z}_T} \end{gathered}$$

如果k>1，那么$Y_{\Pi 2}$就是容性电纳，其中的容性电流流过$Z_{\Pi }$后会产生电压升，相当于是使得输出电压变大。如果k<1，那么$Y_{\Pi 2}$就是感性电纳，其中的感性电流流过$Z_{\Pi }$后会产生电压降，相当于是使得输出电压变小。