特征值与特征向量的关系在线性代数中是一个核心概念，尤其在处理矩阵和线性变换时。给定一个矩阵$A$，如果存在一个非零向量$u$和一个标量$\lambda$，使得$Au=\lambda u$，那么我们就说$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，而$u$是对应于这个特征值的特征向量。

现在，我们来详细解给出的公式$Cu=\lambda u$。

首先，这个公式表示矩阵$C$乘以向量$u$的结果等于标量$\lambda$与向量$u$的乘积。这里的$\lambda$是一个常数，而$u$是一个非零向量。

1. 特征值$\lambda$的意义：

   • 特征值$\lambda$描述了矩阵$C$对向量$u$进行线性变换时的“缩放”因子。换句话说，当我们将向量$u$乘以矩阵$C$时，它会被拉伸或压缩到原来的$\lambda$倍。
   • 如果$\lambda >1$，那么向量$u$在变换后会被拉长；如果$0<\lambda <1$，那么向量$u$会被压缩；如果$\lambda =1$，则向量$u$的长度不变；如果$\lambda <0$，则向量$u$不仅长度改变，方向也会反转。

2. 特征向量$u$的意义：

   • 特征向量$u$是那些在经过矩阵$C$的线性变换后，其方向保持不变（或仅反向）的向量。也就是说，$Cu$与$u$是共线的，即它们要么同向，要么反向。
   • 特征向量在描述矩阵的性质时非常有用，因为它们揭示了矩阵变换的某些不变性质。

3. 如何找到特征值和特征向量：

   • 为了找到矩阵$C$的特征值和特征向量，我们通常首先计算矩阵$C$的特征多项式，即$det(C-\lambda I)=0$，其中$I$是单位矩阵。
   • 解这个多项式方程，我们可以得到矩阵$C$的所有特征值$\lambda$。
   • 对于每一个特征值$\lambda$，我们将其代入原方程$Cu=\lambda u$，并解这个线性方程组，从而找到对应的特征向量$u$。

通过这种方法，我们可以找到矩阵$C$的所有特征值和对应的特征向量，从而更深入地理解矩阵$C$的性质和行为。