X进制减法（蓝桥杯）

news2024/11/25 0:47:12

文章目录

X进制减法
- 题目描述
- 解题思路
- 贪心算法+模拟减法（大数相减）

X进制减法

题目描述

进制规定了数字在数位上逢几进一。

X 进制是一种很神奇的进制，因为其每一数位的进制并不固定！例如说某种 X 进制数，最低数位为二进制，第二数位为十进制，第三数位为八进制，则X 进制数 321 转换为十进制数为 65。

现在有两个 X 进制表示的整数 A 和 B，但是其具体每一数位的进制还不确定，只知道 A 和 B 是同一进制规则，且每一数位最高为 N 进制，最低为二进制。请你算出 A B 的结果最小可能是多少。

请注意，你需要保证 A 和 B 在 X 进制下都是合法的，即每一数位上的数字要小于其进制。

输入格式

第一行一个正整数 N，含义如题面所述。

第二行一个正整数 M_a，表示 X 进制数 A 的位数。

第三行 M_a 个用空格分开的整数，表示 X 进制数 A 按从高位到低位顺序各个数位上的数字在十进制下的表示。

第四行一个正整数 M_b，表示 X 进制数 B 的位数。

第五行 M_b 个用空格分开的整数，表示 X 进制数 B 按从高位到低位顺序各
个数位上的数字在十进制下的表示。

请注意，输入中的所有数字都是十进制的。

输出格式

输出一行一个整数，表示 X 进制数 A B 的结果的最小可能值转换为十进制后再模 1000000007 的结果。

样例输入

样例输出

样例说明

当进制为：最低位 2 进制，第二数位 5 进制，第三数位 11 进制时，减法得到的差最小。此时 A 在十进制下是 108，B 在十进制下是 14，差值是 94。

X进制数321转换为十进制数为65.
65=3*(2*10)+2*(2)+1*(1)

评测用例规模与约定

对于 30% 的数据，N ≤ 10; M_a, M_b ≤ 8.

对于 100% 的数据，2 ≤ N ≤ 1000; 1 ≤ M_a, M_b ≤ 100000; A ≥ B.

解题思路

对于输入样例，若选取第三数位11进制，第二数位5进制，第一数位2进制
在这里插入图片描述
计算规则上所示，每个数位可任意选择一个进制（要求进制数大于当前位数的数值，例如当前位数的数位5，那么最小的进制数只能为6

考虑A-B要求最小，贪心考虑，即要满足每一位数的进制数要最小，因此很容易得出，每一数位的进制数大小是多少（A，B对位后，取数位上的数值最大的一个+1即为当前数位的进制位，如果取最小的，那另一个数就不满足该进制），但注意最低为2进制，因为不存在1进制。

样例

10 4 0
1  2 0

最高位分别为10和1，那么该数位取10+1=11进制
次高位分别为4和2，那么该数位取4+1=5进制
最低位分别为0和0，那么该数位取2进制

最后数位对齐，模拟减法即可

重点：贪心、理解进制、模拟减法

贪心算法+模拟减法（大数相减）

这段代码的目的是计算两个特定进制（X进制）数A和B之间的差，并将这个差以十进制数表示，最后对结果取模1000000007。这个特定的进制系统比较复杂，因为它允许每一位数的进制不同，从二进制开始，最高可达N进制。下面是对代码各个部分的详细注释和执行流程解释。

// 引入所有标准库
#include<bits/stdc++.h>
// 使用标准命名空间
using namespace std;

// 定义模数
const int mod=1000000007;
// 数组a，b用于存储两个输入数A和B，数组s用于存储每位的最小可能进制
long long a[100010],b[100010],s[100010];
// n为最高进制，ma和mb分别为A和B的位数
int n,ma,mb;

// 函数sub用于执行具体的减法操作并返回结果
vector<long long> sub() {
    // base用于进位处理，初始为1
    long long base=1;
    vector<long long> c; // 存储计算结果
    long long t=0; // 临时变量t用于处理借位和计算过程中的中间结果
    // 遍历所有位进行减法操作
    for(int i=0;i<ma;i++) {
        t=a[i]-t; // 减去之前的借位
        if(i<mb) t-=b[i]; // 如果B有对应位，则减去B的值
        // 计算当前位的值，并考虑进制转换和模运算
        c.push_back(((t+s[i])%s[i])*base%mod);
        // 更新借位
        if(t<0) t=1;
        else t=0;
        // 更新base，用于下一位的计算
        base=(base*s[i])%mod;
    }
    // 移除结果中末尾的0，保留有效数字
    while(c.size()>1&&c.back()==0) c.pop_back();//这里可以省略，因为后面需要相加，0+0=0
    // 返回计算结果
    return c;
}

int main() {
    // 输入处理
    cin>>n>>ma;
    for(int i=ma-1;i>=0;i--)
        cin>>a[i];
    cin>>mb; 
    for(int i=mb-1;i>=0;i--)
        cin>>b[i];
    // 计算每位的最小可能进制
    for(int i=ma-1;i>=0;i--)//因为A>=B，所以得出ma>=mb
        s[i]=max(max(a[i],b[i])+1,(long long)2);
    
    // 调用sub函数计算A-B的结果
    auto c=sub();
    // 将结果转换为十进制并取模
    long long ans=0;
    for(int i=c.size()-1;i>=0;i--)
        ans=(ans+c[i])%mod;
    // 输出结果
    cout<<ans;
    return 0;
}