线性方程组的解法

看到以下线性方程组的一般形式：设有以下的$n$阶线性方程组：

$$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$$

求解线性方程组的方法可以分为两类：直接法和迭代法。

• 直接法是指假设计算中不产生舍入误差，结果有限次的运算可以得到方程组的精确解的方法，主要用于解低阶稠密矩阵。
• 迭代法是一种通过构造迭代序列逐步逼近方程组精确解的方法。它将求解方程组的问题转化为一个迭代格式，从一个初始近似解出发，按照一定的迭代公式反复计算，得到一系列近似解，当迭代次数足够多时，这些近似解逐渐收敛到方程组的精确解。迭代法主要用于解高阶稀疏矩阵方程组，因为对于高阶稀疏矩阵，直接法可能会面临计算量过大、存储需求过高的问题，而迭代法可以利用矩阵的稀疏性，减少计算量和存储空间。

认识一些基本的矩阵函数

函数	功能
$\text{rank}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的秩，即$\mathbf{A}$中线性无关的行数和列数
$\text{det}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的行列式
$\text{inv}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的逆矩阵，若$\mathbf{A}$近似奇异，会抛出错误
$\text{pinv}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的伪逆
$\text{trace}(\mathbf{A})$	求$\mathbf{A}$的迹，即对角线元素和

MATLAB 实现

在$MATLAB$中，使用运算符\直接求解线性系统，该运算符功能强大，具有智能性。

x=A\b  %求解线性系统 Ax=b
X=A\B  %求解系统：AX=B

1. 直接解法：

问题
$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+3x_2-3x_3-x_4& =1\\ 3x_1-6x_2-3x_3+4x_4& =4\\ x_1+5x_2-9x_3-8x_4& =0\end{array}$$

A=[1,3,-3,-1;3,-6,-3,4;1,5,-9,-8];
B=[1,4,0]';
X=A\B

2. 逆矩阵:

注意这种方法首先要看一下$\mathbf{A}$是不是方阵。

x=A^-1*b
x=inv(A)*b

问题
$$\{\begin{array}{ll}{x}_1+2x_2& =-1\\ 3x_1+4x_2& =-1\end{array}$$

A=[1,2;3,4];b=[-1;-1];
 x=A^-1*b

3. $LU$分解

[L U]=lu(A)
X=U\(L\B)

问题
$$\{\begin{array}{c}4x_1+2x_2-x_3=2\\ 3x_1-x_2+2x_3=10\\ 11x_1+3x_2+x_3=8\end{array}$$

>> A=[4 2 -1;3 -1 2; 11 3 1];
>> B=[2 10 8]';
>> D=det(A)

D =

  -10.0000

>> [L U]=lu(A)

L =

    0.3636   -0.5000    1.0000
    0.2727    1.0000         0
    1.0000         0         0


U =

   11.0000    3.0000    1.0000
         0   -1.8182    1.7273
         0         0   -0.5000

>> X=U\(L\B)

X =

    4.0000
  -10.0000
   -6.0000

机电工程学院教学函数构造

1.高斯消元法

代码模板

function x = pureGaussianElimination(A, b)
    % 获取矩阵 A 的行数
    n = size(A, 1);
    % 构建增广矩阵 [A, b]
    augmentedMatrix = [A, b];

    % 前向消元过程
    for k = 1:n - 1
        for i = k + 1:n
            % 计算消元因子
            factor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);
            % 消去第 i 行第 k 列的元素
            augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);
        end
    end

    % 回代求解
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);
    for i = n - 1:-1:1
        x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / augmentedMatrix(i, i);
    end
end
    

2.列主元消去法

代码模板

function x = gaussianElimination(A, b)
    % 获取矩阵 A 的行数和列数
    [n, m] = size(A);
    % 构建增广矩阵 [A, b]
    augmentedMatrix = [A, b];

    % 前向消元过程
    for k = 1:n-1
        % 选主元
        [~, pivotIndex] = max(abs(augmentedMatrix(k:n, k)));
        pivotIndex = pivotIndex + k - 1;
        % 交换行
        if pivotIndex ~= k
            temp = augmentedMatrix(k, :);
            augmentedMatrix(k, :) = augmentedMatrix(pivotIndex, :);
            augmentedMatrix(pivotIndex, :) = temp;
        end
        % 消元
        for i = k+1:n
            factor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);
            augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);
        end
    end

    % 回代求解
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / augmentedMatrix(i, i);
    end
end
    

3.$LU$分解法

代码模板

function x = luDecomposition(A, b)
    % 获取矩阵 A 的行数
    n = size(A, 1);
    % 初始化 L 为单位矩阵，U 为 A
    L = eye(n);
    U = A;

    % LU 分解过程
    for k = 1:n - 1
        for i = k + 1:n
            % 计算 L 矩阵的元素
            L(i, k) = U(i, k) / U(k, k);
            % 更新 U 矩阵
            U(i, k:end) = U(i, k:end) - L(i, k) * U(k, k:end);
        end
    end

    % 求解 Ly = b
    y = zeros(n, 1);
    for i = 1:n
        y(i) = (b(i) - L(i, 1:i - 1) * y(1:i - 1)) / L(i, i);
    end

    % 求解 Ux = yfunction x = GaussianElimination(A, b)
    % 获取矩阵 A 的行数
    n = size(A, 1);
    % 构建增广矩阵 [A, b]
    augmentedMatrix = [A, b];

    % 前向消元过程
    for k = 1:n - 1
        for i = k + 1:n
            % 计算消元因子
            factor = augmentedMatrix(i, k) / augmentedMatrix(k, k);
            % 消去第 i 行第 k 列的元素
            augmentedMatrix(i, k:end) = augmentedMatrix(i, k:end) - factor * augmentedMatrix(k, k:end);
        end
    end

    % 回代求解
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = augmentedMatrix(n, end) / augmentedMatrix(n, n);
    for i = n - 1:-1:1
        x(i) = (augmentedMatrix(i, end) - augmentedMatrix(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / augmentedMatrix(i, i);
    end
end
    x = zeros(n, 1);
    for i = n:-1:1
        x(i) = (y(i) - U(i, i + 1:n) * x(i + 1:n)) / U(i, i);
    end
end