文章目录
- A. MIMO Communication Model
- B. MIMO Radar Model
- III. Joint Waveform and Phase Shift Matrix Design for Given Radar Beampattern
- A. Problem Formulation
- B. Proposed Algorithm
- IV. JOINT DESIGN WITH TRADE-OFF BETWEEN RADAR AND COMMUNICATION PERFORMANCE
- A. Problem Formulation
- B. Alternating Optimization Algorithm
- V. S IMULATION RESULTS
A. MIMO Communication Model
用户处的接收信号矩阵由
Y
=
(
H
b
u
+
H
r
u
Θ
H
b
r
)
X
+
W
≜
H
~
b
u
X
+
W
,
\begin{equation*} \mathbf {Y} = (\mathbf {H}_{bu} + \mathbf {H}_{ru}\Theta \mathbf {H}_{br}) \mathbf {X} + \mathbf {W} \triangleq \tilde{\mathbf {H}}_{bu}\mathbf {X} + \mathbf {W}, \tag{1} \end{equation*}
Y=(Hbu+HruΘHbr)X+W≜H~buX+W,(1)
其中，[hru,1，…]， hru,K]T∈CK×L, Hbr∈CL×N表示基带
从BS到用户、从RIS到用户、从BS到RIS的等效信道。Θ= diag(Θ 1，…， θL)为RIS相移矩阵，其中θL∈F，其中F为RIS处反射系数的可行?。这里我们假设F?{θl?|θl|= 1}[11]。
X
=
[
x
1
,
…
,
x
M
]
\mathbf {X} = [\mathbf {x}_1,\ldots, \mathbf {x}_M]
X=[x1,…,xM] 表示传输信号矩阵，其中M为通信帧长度，
W
=
[
w
1
,
…
,
w
K
]
T
∈
C
K
×
M
\mathbf {W} = [\mathbf {w}_1,\ldots, \mathbf {w}_K]^T \in \mathbb {C}^{K \times M}
W=[w1,…,wK]T∈CK×M 是用户处的噪声，其中wk~ CN(0，σ2I)，∀1≤k≤k。假设所有的信道都是块褪色的，并且在每帧内保持不变，并且假设所有的信道都是通过导频符号在BS处完美估计的。
通过将用户处的期望符号矩阵表示为
S
∈
C
K
×
M
\mathbf {S} \in \mathbb {C}^{K \times M}
S∈CK×M，我们将接收到的信号矩阵重铸为
Y
=
S
+
(
H
~
b
u
X
−
S
)
⏟
MUI
+
W
,
\begin{equation*} \mathbf {Y} = \mathbf {S} + \underbrace{(\tilde{\mathbf {H}}_{bu} \mathbf {X} - \mathbf {S})}_{\text{MUI}} + \mathbf {W}, \tag{2} \end{equation*}
Y=S+MUI
(H~buX−S)+W,(2)
其中第二项表示多用户干扰(MUI)。MUI的总能量计算为
P
MUI
=
∥
H
~
b
u
X
−
S
∥
F
2
,
\begin{equation*} P_{{\text{MUI}}} = \left\Vert {\tilde{\mathbf {H}}_{bu} \mathbf {X} - {\mathbf {S}}} \right\Vert _F^2, \tag{3} \end{equation*}
PMUI=
H~buX−S
F2,(3)
，对用户的可达和速率有显著影响。具体来说，第k个用户的每帧信噪比(SINR)为[12]
其中E(·)代表辩论对j的期望，那么可达到的和速率计算为
γ k = E ( ∣ s k , j ∣ 2 ) E ( ∣ h ~ b u , k T x j − s k , j ∣ 2 ) ⏟ MUI energy + σ 2 , \begin{equation*} {\gamma _k} = \frac{{\mathbb {E}\left({{{\left| {{s_{k,j}}} \right|}^2}} \right)}}{{\underbrace{\mathbb {E}\left({{{\left| {\tilde{\mathbf {h}}_{bu,k}^T{{\mathbf {x}}_j} - {s_{k,j}}} \right|}^2}} \right)}_{{\text{MUI energy}}} + \sigma ^2}}, \tag{4} \end{equation*} γk=MUI energy E( h~bu,kTxj−sk,j 2)+σ2E(∣sk,j∣2),(4)
注意，对于给定的能量固定的星座，期望信号的功率Ej(|sk,j|2)是一个固定值。因此，用户k的可达数据速率可以通过最小化其接收到的干扰来最大化。从这个意义上说，最小化MUI能量与最大化和速率密切相关。因此，在下文[2]中，我们采用MUI能量作为通信性能指标。
B. MIMO Radar Model
与传统相控阵雷达不同，MIMO雷达可以发射多个探测信号，具有更高的波形分集[13]。如[2]、[13]、[14]所示，MIMO雷达的波束方向图设计等同于信号协方差矩阵的设计，可以表示为
R
X
=
1
M
X
X
H
,
\begin{equation*} \mathbf {R}_X = \frac{1}{M}\mathbf {X} \mathbf {X}^H, \tag{6} \end{equation*}
RX=M1XXH,(6)
，其发射波束图为
P d ( ϕ ) = a H ( ϕ ) R X a ( ϕ ) , \begin{equation*} {P_d}\left(\phi \right) = {{\mathbf {a}}^H}\left(\phi \right){{\mathbf {R}}_X}{\mathbf {a}}\left(\phi \right), \tag{7} \end{equation*} Pd(ϕ)=aH(ϕ)RXa(ϕ),(7)
式中 ϕ \phi ϕ 表示探测角度， a ( ϕ ) = [ 1 , e j 2 π δ sin ( ϕ ) , … , e j 2 π ( N − 1 ) δ sin ( ϕ ) ] T ∈ C N × 1 \mathbf {a}(\phi) = [1, e^{j2\pi \delta \sin (\phi)},\ldots, e^{j2\pi (N-1)\delta \sin (\phi)}]^T \in \mathbb {C}^{N \times 1} a(ϕ)=[1,ej2πδsin(ϕ),…,ej2π(N−1)δsin(ϕ)]T∈CN×1 为天线导向矢量， δ δ δ 表示归一化天线间距。 P d ( θ ) P_d(\theta) Pd(θ) 反映了发射波形的空间谱，这表明 P d ( θ ) P_d(θ) Pd(θ) 值越大， θ θ θ 方向的辐射功率越大。
III. Joint Waveform and Phase Shift Matrix Design for Given Radar Beampattern
A. Problem Formulation
对于MIMO雷达的波束方向图设计，在[3]中提出了约束最小二乘问题，得到如下的理想波束方向图
min β , R d ∑ m = 1 M ∣ β P ~ d ( ϕ m ) − a H ( ϕ m ) R d a ( ϕ m ) ∣ 2 s . t . d i a g ( R d ) = P 0 1 σ 2 , R d ⪰ 0 , β ≥ 0 , \begin{align*} &\min \limits _{\beta,{\mathbf {R}_d}} \,\sum \limits _{m = 1}^{M} {{{\left|{ {\beta {\tilde{P}_{d}}\left({{\phi _{m}} }\right) - {{\mathbf {a}}^{H}}\left({{\phi _{m}} }\right){ \mathbf {R}_d \mathbf {a}}\left({{\phi _{m}} }\right)} }\right|}^{2}}} \tag{8} \\ &\,{\rm s.t.}\,\mathrm{diag} \left({{\mathbf {R}_d} }\right) = \frac{{P_{0}{\mathbf {1}}}}{\sigma ^2}, \tag{8a} \\ &\qquad \,{\mathbf {R}_d} \succeq 0, \tag{8b} \\ &\qquad \,\beta \geq 0, \tag{8c} \end{align*} β,Rdminm=1∑M βP~d(ϕm)−aH(ϕm)Rda(ϕm) 2s.t.diag(Rd)=σ2P01,Rd⪰0,β≥0,(8)(8a)(8b)(8c)
式中 { ϕ k } k = 1 K \lbrace \phi _k\rbrace _{k=1}^K {ϕk}k=1K 表示覆盖探测角度范围 [ − π / 2 , π / 2 ] [-\pi /2, \pi /2] [−π/2,π/2] 的精细角网格， P ~ d ( ϕ k ) \tilde{P}_{d}(\phi _k) P~d(ϕk) 为 ϕ k \phi _k ϕk 处期望的理想波束方向图增益， β β β 为比例因子， R d \mathbf {R}_d Rd 为期望波形协方差矩阵， P 0 P_0 P0 为功率预算。问题(8)是凸的， β β β 和 R d \mathbf {R}_d Rd 可以通过已有的CVX求解器进行联合优化。
给定一个期望的协方差矩阵
R
d
\mathbf {R}_d
Rd，MUI最小化问题表述为
min
X
,
Θ
∥
H
~
b
u
X
−
S
∥
F
2
s
.
t
.
1
M
X
X
H
=
R
d
,
∣
θ
l
∣
=
1
,
∀
l
=
1
,
…
,
L
,
\begin{align*} & \min \limits _{\mathbf {X}, \boldsymbol \Theta } \left\Vert \tilde{\mathbf {H}}_{bu}\mathbf {X} - {\mathbf {S}} \right\Vert _F^2 \tag{9} \\ & {\rm s.t.}\;\;\frac{1}{M}{\mathbf {X}}{{\mathbf {X}}^H} = {\mathbf {R}}_d, \tag{9a} \\ & \qquad \vert \theta _l \vert = 1, \forall l = 1,\ldots, L, \tag{9b} \end{align*}
X,Θmin
H~buX−S
F2s.t.M1XXH=Rd,∣θl∣=1,∀l=1,…,L,(9)(9a)(9b)
B. Proposed Algorithm
由于优化变量 X \mathbf {X} X 和 Θ \boldsymbol{\Theta } Θ 是相互耦合，问题(9)求解具有挑战性，很难获得最优解；因此，我们提出了一种基于交替优化的联合设计 X \mathbf {X} X 和 Θ \boldsymbol{\Theta } Θ 的算法。
1)对给定的
Θ
\boldsymbol{\Theta }
Θ 优化
X
\mathbf {X}
X ：对于任何给定的
Θ
\boldsymbol{\Theta }
Θ ，问题(9)可以写成
min
X
∥
H
~
b
u
X
−
S
∥
F
2
s
.
t
.
1
M
X
X
H
=
R
d
,
\begin{align*} & \min \limits _{\mathbf {X}} \left\Vert \tilde{\mathbf {H}}_{bu}\mathbf {X} - {\mathbf {S}} \right\Vert _F^2 \tag{10} \\ & {\rm s.t.}\;\;\frac{1}{M}{\mathbf {X}}{{\mathbf {X}}^H} = {\mathbf {R}}_d, \tag{10a} \end{align*}
Xmin
H~buX−S
F2s.t.M1XXH=Rd,(10)(10a)
通过将 R d \mathbf {R}_d Rd 的Cholesky分解定义为 R d = F F H \mathbf {R}_d = \mathbf {FF}^H Rd=FFH，其中F∈CN×N为下三角矩阵，在[2]中可以得到(10)问题的最优解为
其中U ~ Σ ~ V ~ H = FH H ~ H S是奇异值分解bu
(SVD)的F HbuS。H˜H
- Optimization of Θ \boldsymbol{\Theta } Θ for Given X \mathbf {X} X ：对于任何给定X，问题(9)可以写成
将(1)中的H˜bu代入(12)，并删除与Θ无关的项，我们可以将问题(12)重铸为
式中B = HHru Hru, C = Hbr XXH HHbr, D = Hbr XTH Hru, T =HbuX−S。
更进一步，通过定义θ= Θ1 L，我们有
同样，通过定义d = [d1,1，·，DL,L]T，我们有
将(14)、(15)代入(13)，(13)题可写成
min θ f ( θ ) = θ H ( B ⊙ C ) θ + d T θ + θ H d ∗ s . t . ∣ θ l ∣ = 1 , ∀ l = 1 , … , L , \begin{align*} & \min \limits _{\boldsymbol \theta } f(\boldsymbol{\theta }) = \boldsymbol{\theta }^H (\mathbf {B} \odot \mathbf {C}) \boldsymbol{\theta } + \mathbf {d}^T \boldsymbol{\theta } + \boldsymbol{\theta }^H \mathbf {d}^* \tag{16} \\ & {\rm s.t.}\;\; \vert \theta _l \vert = 1, \forall l = 1,\ldots, L, \tag{16a} \end{align*} θminf(θ)=θH(B⊙C)θ+dTθ+θHd∗s.t.∣θl∣=1,∀l=1,…,L,(16)(16a)
由于约束(16a)，问题(16)仍然是非凸的。
IV. JOINT DESIGN WITH TRADE-OFF BETWEEN RADAR AND COMMUNICATION PERFORMANCE
如[2]所示，由于问题(9)对雷达波束方向图实施了严格的等式约束，通信可能会遭受严重的性能损失。为了解决这个问题，在本节中，我们还考虑了雷达和通信性能之间的权衡，即我们允许设计的波束图和期望的波束图之间存在可容忍的失配。
A. Problem Formulation
权衡优化问题表示为
min X , Θ , U ρ ∥ H ~ b u X − S ∥ F 2 + ( 1 − ρ ) ∥ X − U ∥ F 2 s . t . 1 M U U H = R d , 1 M ∥ X ∥ F 2 = P 0 , ∣ θ l ∣ = 1 , ∀ l = 1 , … , L , \begin{align*} & \min \limits _{\mathbf {X}, \boldsymbol \Theta, \mathbf {U}} \rho \left\Vert \tilde{\mathbf {H}}_{bu}\mathbf {X} - {\mathbf {S}} \right\Vert _F^2 + (1-\rho) \Vert \mathbf {X} - \mathbf {U} \Vert _F^2 \tag{23} \\ & {\rm s.t.}\;\;\frac{1}{M}{\mathbf {U}}{{\mathbf {U}}^H} = {\mathbf {R}}_d, \tag{23a} \\ & \qquad \frac{1}{M} \Vert \mathbf {X} \Vert _F^2 = P_0, \tag{23b} \\ & \qquad \vert \theta _l \vert = 1, \forall l = 1,\ldots, L, \tag{23c} \end{align*} X,Θ,Uminρ H~buX−S F2+(1−ρ)∥X−U∥F2s.t.M1UUH=Rd,M1∥X∥F2=P0,∣θl∣=1,∀l=1,…,L,(23)(23a)(23b)(23c)
其中 ρ ∈ [ 0 , 1 ] ρ∈[0,1] ρ∈[0,1] 是权衡雷达和通信性能的加权因子，U是匹配所需雷达波束图的波形模板，约束(23b)将总发射功率约束为最大值。
B. Alternating Optimization Algorithm
为了解决非凸问题(23)，我们提出了一种基于交替优化的算法，在固定其他变量的同时迭代优化每个变量。
- Optimization of
X
\mathbf {X}
X for Given
Θ
\boldsymbol{\Theta }
Θ and U：我们首先表示A =[√ρH T，√1−ρI N] T, B =[√ρS T，√1−ρU T] T, refor-
将问题(23)Mulate为
min X ∥ A X − B ∥ F 2 s . t . ( 23 b ) \begin{align*} & \min \limits _{\mathbf {X}} \left\Vert \mathbf {A}\mathbf {X} - {\mathbf {B}} \right\Vert _F^2 \tag{24} \\ & {\rm s.t.}\;\; (23 \text{b}) \end{align*} Xmin∥AX−B∥F2s.t.(23b)(24)
(24)问题就可以通过[2]中的算法1来解决。
- Optimization of U for Given Θ and X：随后，我们更新波形模板U，问题(23)可以简化为
min U ∥ U − X ∥ F 2 s . t . ( 23 a ) (25) \begin{equation*} \min _{\mathbf {U}}\Vert \mathbf {U}-\mathbf {X}\Vert _{F}^{2} \qquad {\rm s.t.} \ (23 \text{a}) \end{equation*} \tag{25} Umin∥U−X∥F2s.t. (23a)(25)
与(10)类似，问题(25)的优化给出为
其中U¯Σ¯V¯H = FH X是FHX的奇异值分解(SVD)。
3)对Θfor给出X和U的优化:注意，目标(23)中只有第一项与Θ有关。因此，针对Θis的优化算法与第三节相同。
4)整体算法:基于上述算法，将整体算法归纳为算法3。根据[2]，优化X的复杂度与优化u的复杂度是相同的。因此，算法3的复杂度也是
O
{
N
i
t
e
r
,
o
(
N
M
2
+
N
2
M
+
N
K
M
+
N
3
+
N
2
K
+
N
i
t
e
r
,
i
N
2
L
)
}
\mathcal {O}\lbrace N_{iter,o}(NM^2 + N^2\,M +NKM +N^3 +N^2\,K + N_{iter,i}N^2\,L)\rbrace
O{Niter,o(NM2+N2M+NKM+N3+N2K+Niter,iN2L)}。
V. S IMULATION RESULTS
在本节中，我们通过数值结果验证了所提出的联合波形和RIS反射矩阵设计算法。根据[2]的假设，信道矩阵的每一项服从标准复高斯分布。设置BS天线数为 N = 20 N = 20 N=20，总功率预算为 P 0 = 20 P_0 = 20 P0=20dbm。定义发送信噪比为SNR =P0/N0。严格波束方向图等式约束和权衡设计的情况分别表示为“严格”和“权衡”。我们也比较了没有RIS辅助的结果[2]。我们假设三个目标分别位于相对于BS的 [ − 6 0 ∘ , 0 ∘ , 6 0 ∘ ] \left[-60^{\circ }, 0^{\circ }, 60^{\circ } \right] [−60∘,0∘,60∘] 角度。注意，我们假设这些角度是由BS在探测阶段获得的，并用于设计理想的波束方向图。
在图2中，我们展示了所提出的算法2和算法3的收敛行为。可以看出，与算法2相比，算法3的收敛速度更快。原因是，通过允许优化波束和期望波束之间的不相似性，在每次迭代中引入了更多的自由度；因此，可以更快地实现收敛。此外，我们还介绍了 SDR-based 的的方法的性能。由于SDR技术中的秩一近似，sdr的不能收敛，导致目标值较大。与基于SDR的方法的比较也表明了本文算法的优越性。
在图3(a)中，我们展示了不同传输信噪比下不同方法实现的和速率，其中 L = 16 L = 16 L=16。它表明，在 strict beampattern constraint 和 trade-off design 两种情况下，借助于RIS都可以显著提高和速率。同时，随着权重因子 ρ ρ ρ 的增大，和速率的增大，但以优化波束图与期望波束图不匹配为代价。
图3(b)显示了不同RIS元素的和速率，其中发射SNR设置为6 dB。可以看出，随着 L L L 的增大，所有方法的和速率都在增大，而它们之间的差异在减小。最后，当RIS元素个数足够大时，所有方法的和速率收敛。同样值得注意的是，当使用RIS时，提高 ρ ρ ρ 的性能增益较低。原因是，通过联合设计波形和RIS反射矩阵，可以使 BS-用户信道和波形更好地匹配。因此，减少了雷达和通信性能之间的权衡。
在图4(a)中，我们给出了合成的雷达波束图。“严格”方法的波束图与期望的波束图相同。通过引入一个小的加权因子 ρ = 0.01 ρ= 0.01 ρ=0.01，在没有利用RIS的情况下，[2]的波束模式会严重退化。而对于 RIS-assisted 方法，设计的波束与期望的波束匹配良好。这是因为RIS能够帮助将MUI降低到一个很小的值；因此，解决问题(23)的目标近似为最小化设计波形和期望波形之间的相异度。
为了更清楚地说明这一点，我们在图4(b)中给出了获得的波束图的均方误差(MSE)。可以看出，与不使用RIS的情况相比，MSE可以显着降低。图4和图3(a)、(b)表明，RIS能够帮助实现雷达和通信性能之间的更好平衡。
