Unreal中的四元数FQuat

news2024/9/29 13:30:42

四元数：Quaternion，四维数域内的数，可用于描述点在三维空间内的旋转（因为三维的旋转可以理解为绕某个轴旋转一个角度，所以需要4个维度的信息）
注意这里的旋转的轴，指的是从原点到 $(x, y, z)$ ，也就是单纯的旋转信息，不包含位移信息（绕着不通过原点的线，可以先把点和轴平移，再旋转，再把点平移回去）

来源：

二元数： $a + bi$ 表示二维坐标系内的向量 $\vec v =(a,b)$ ，当这个向量为单位向量的时候，也可以表示为旋转这个操作，旋转的角度： $\theta = <(1,0),\vec v>$ 。例如：
$\vec v = (1,0) \\ n = \frac{\sqrt 3}{2}+\frac{1}{2}i，表示逆时针旋转30^\circ\\ \vec v *n=\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{1}{2}i （30^\circ）\\ \vec v *n*n=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i（60^\circ）\\ \vec v *n*n*n=0+1i（90^\circ）\\ \vec v *n*n*n*n=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i（120^\circ）\\ ...$

那三维坐标系内呢？假设定义三元数： $a + bi + c j$ ，表示三维向量 $\vec v =(a,b,c)$ ，同时表示一个三维空间的旋转，那么自乘的结果内，有一项为 $2 b c * ij$ 。而数学家无法给这个 $ij$ 设定一个值完成逻辑自洽（例如 $i * i = - 1$ ）。
为了完成逻辑自洽，引入了 $k = ij$ ，也就是变成了四元数： $q = a + bi + c j + d k$ ，同时加上以下设定：（不满足交换律）

$i\times j=k\\ j\times k=i\\ k\times i=j\\ j\times i=-k\\ k\times j=-i\\ i\times k=-j\\ i\times j\times k=k\times k=-1$
这样子，我们就可以让乘法的结果也是 $a + bi + c j + d k$ 了

在这里插入图片描述

几何意义：

定义四元数 $q = a + bi + c j + d k$ ，参考二元数的共轭值定义， $q^*=a-bi-cj-dk$

轴为 $\vec n=(x,y,z)$ ，角为 $\theta$ 时，可以推出各个系数为（系数推理参考）：
$a=cos\frac{\theta}{2} （FQuat::W）\\ b=sin\frac{\theta}{2}x（FQuat::X）\\ c=sin\frac{\theta}{2}y（FQuat::Y）\\ d=sin\frac{\theta}{2}z（FQuat::Z）$

参考虚幻的轴角转化为四元数的代码：

template<typename T>
FORCEINLINE TQuat<T>::TQuat(TVector<T> Axis, T AngleRad)
{
	const T half_a = 0.5f * AngleRad;
	T s, c;
	FMath::SinCos(&s, &c, half_a);

	X = s * Axis.X;
	Y = s * Axis.Y;
	Z = s * Axis.Z;
	W = c;

	DiagnosticCheckNaN();
}

对于一个点 $p (x, y, z)$ ，使其绕 $\vec n$ 逆时针旋转 $\theta$

按照上文得出 $q=cos\frac{\theta}{2}+sin\frac{\theta}{2}i+sin\frac{\theta}{2}j+sin\frac{\theta}{2}k$
将虚部记为 $\vec v$ ，实部记为 $w$ ，即： $q=w+\vec v$
使用公式（推理参考） $\times q) + 2v \times (v \times q)$

参考虚幻的旋转代码：

template<typename T>
FORCEINLINE TVector<T> TQuat<T>::RotateVector(TVector<T> V) const
{	
	const TVector<T> Q(X, Y, Z);
	const TVector<T> TT = 2.f * TVector<T>::CrossProduct(Q, V);
	const TVector<T> Result = V + (W * TT) + TVector<T>::CrossProduct(Q, TT);
	return Result;
}