学习次模函数-第2章定义

news2024/11/17 8:36:46

纵观本专著，我们认为 $V=\{1,2,3,\cdots,p\},p>0$ 及其幂集（即，所有子集的集合） $2^V$ ，其基数为 $2^p$ 。我们也考虑一个实值集函数 $F:2^V\to \mathbb{R}$ ，使得 $F(\phi )=0$ 。与凸函数的一般约定相反（见附录A），我们不允许函数 $F$ 有无穷大的值。

次模分析领域起源于拟阵理论，次模函数最初被看作是拟阵秩函数的扩展（见[63]和§6.8），它们的分析与我们在§2.2中定义的特殊凸多面体紧密相连。在与凸分析建立了联系之后[63，135]，次模性作为组合优化的中心概念出现了。和凸性一样，科学和工程领域的许多模型，特别是机器学习领域的许多模型，都包含了次模性（参见第6章的许多例子）。像凸性一样，次模性通常足以导出一般理论和一般算法（当然，一些特殊情况仍然很重要，如最小割/最大流问题），它们具有吸引人的理论和实践性质。最后，像凸性一样，在许多领域中，次模函数在组合和凸优化中扮演着中心但有些隐藏的角色。例如，在第5章中，我们展示了在涉及离散结构的凸优化中，有多少问题最终被转换为次模优化问题，然后这些次模优化问题直接导出了有效的算法。

在§2.1中，我们给出了次模性的定义及其等价刻画。尽管次模性看起来相当抽象，但事实证明，它在许多示例中自然出现。在本章中，我们将只回顾几个经典的例子，这些例子将有助于说明我们的各种结果。有关示例的详细列表，请参见第6章。在§2.2中，我们定义了传统上与次模函数相关联的两个多面体，而在§2.3中，我们考虑了非减次模函数，通常称为多拟阵秩函数。

2.1 次模性的等价定义

第2.1条定义（次模函数）

一个集合函数 $F:2^V\to \mathbb{R}$ 是次模的当且仅当，对于所有的子集 $A,B\subseteq V$ ，我们有： $F(A)+F(B)\geq F(A\cup B)+F(A\cap B)$ 。

注意，如果一个函数是次模的，并且使得 $F(\phi)=0$ （我们总是假设），则对于任意两个不相交的集合 $A,B\subseteq V$ ，则 $F(A\cup B)\leq F(A)+F(B)$ ，即：次模性意味着次可加性（但反之则不成立）。

如前所述，次模函数的最简单的例子是基数（例如， $F(A)=\left | A \right |$ ， $\left | A \right |$ 是 $A$ 的元素的数目），它既是次模的又是超模的（例如，它的对立 $A \mapsto -F(A)$ 是次模的）。事实证明，只有加法测度才具有模的性质。