数据结构——树与二叉树

news2024/9/30 19:27:39

树与二叉树

1.树的定义

2.树的有关术语

3.二叉树（BinaryTree）

二叉树的性质：

特殊的二叉树

·满二叉树：

·完全二叉树

二叉树的存储结构

顺序存储结构

链式存储结构

二叉树以及对应接口的实现

1.二叉树架构搭建

2.二叉树的创建

3.二叉树的销毁

4.二叉树的前中后序

5.求树的节点个数

6.求叶子结点个数(无左右孩子，度为0)

7.求树的深度

8.二叉树的层序遍历

顾名思义就是一层一层从左到右遍历

拓展知识

树与二叉树

1.树的定义

树是n（n>=0）个结点构成的有限集合。

·当n=0时，称为空树

·树中有一个特殊的结点被称作“根（root）”，其余结点可以分为m个不相交的有限集，其中每一个集合都是一颗树，被称为原来树的子树。（对于空树来说）

2.树的有关术语

（1）结点：树中独立的单元格，包含一个数据元素及若干指向子树的分支。

（2）结点的度：结点的子树个数

（3）树的度：树中最大的结点的度，上图树的度为3.

（4）叶子结点：树中度为0的节点，叶子是这一类结点的总称。上图中的E、F、G、D都是叶子节点。

（5）双亲结点：有子树的结点，是其子树的双亲结点。上图的A就是B、C、D的双亲结点

（6）子结点：上图B、C、D是A的子结点

（7）兄弟结点：上图B、C、D互为兄弟结点

（8）结点的层次：根结点在1层，其他结点的层次等于其父节点的层次+1

(9) 树的深度：所有结点中最大的层次就是树的深度

（10）森林：m棵不相交的树的集合

3.二叉树（BinaryTree）

二叉树是特殊的树，该树每个结点的度<=2。

二叉树的性质：

1.二叉树在第k层上最多有2^(k-1）个结点

2.深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点

3.一颗二叉树如果度为0的结点有N0个，度为2的结点有N2个，则N0=N2+1

特殊的二叉树

·满二叉树：

深度为k且一共有2^k-1个结点，第i层的节点树为2^(i-1)

·完全二叉树

深度为k，前k-1层每层都是满结点，最后退成结点从左向右连续排列

二叉树的存储结构

顺序存储结构

用数组存储二叉树，按从上到下，从左到右顺序存储。（比较适合满二叉树和完全二叉树）

对于普通的二叉树，存储起来空元素的结点就会导致空间的浪费

链式存储结构

这里最常用的存储类型就是运用两指针

1.两指针分别是左右孩子

2.两指针分别是左孩子和右兄弟

二叉树以及对应接口的实现

1.二叉树架构搭建

typedef char BTDataType;//利于适用于多种类型的数据操作

typedef struct BinaryTree

{

BTDataType val;

struct BinaryTree*left;

struct BinaryTree*right;//左右孩子指针

}BTNode;

2.二叉树的创建

BTNode* BTbyNode(BTDataType x)

{

BTNode*newnode=(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));

if(newnode==NULL)

{

perror("malloc fail!!!");

return NULL;

        }

newnode->val=x;

newnode->left=NULL;

newnode->right=NULL;



return newnode;

}

BTNode* CreateTree()
{
   BTNode* l1 = BTByNode(1);
   BTNode* l2 = BTByNode(2);
   BTNode* l3 = BTByNode(3);
   BTNode* l4 = BTByNode(4);
   BTNode* l5 = BTByNode(5);

   l1->left = l4;
   l1->right = l2;
   l2->left = l3;
   l4->right = l5;

   return l1;
}

3.二叉树的销毁

void TreeDestroy(BTNode*root)

{

if(root==NULL)

return ;

TreeDestroy(root->left);

TreeDestroy(root->right);

free(root);

//root==NULL//这里是局部变量，在函数内部置空没有用，要在调用销毁函数的下面置空root

}

4.二叉树的前中后序

关于二叉树非常重要的一个思想就是分治思想，将大问题转化成多个小问题去解决。换成二叉树也就是，将根节点问题不断转化给左右子树

void PrevOrder(BTNode*root)//前序----根---左---右

{

if(root==NULL)

return ；

printf("%c ",root->val);

PrevOrder(root->left);

PrevOrder(root->right);

}

void InOrder(BTNode*root)//中序----左---根---右

{

if(root==NULL)

return ;

InOrder(root->left);

printf("%c ",root->val);

InOrder(root->right);

}

void PostOrder(BTNode*root)//后序----左---右---根

{

if(root==NULL)

return ;

PostOrder(root->left);

PostOrder(root->right);

printf("%c ",root->val);

}

5.求树的节点个数

int BinaryTreeSize(BTNode* root)

{

return root==NULL?0:BinaryTreeSize(root->left)

+BinaryTreeSize(root->right)+1;

}

6.求叶子结点个数(无左右孩子，度为0)

int BinaryTreeleafSize(BTNode* root)

{

if(root==NULL)

return 0;

if(root->left==NULL&&root->right==NULL)

return 1；

return BinaryTreeleafSize（root->left）+BinaryTreeleafSize(root->right);

}

7.求树的深度

int BinaryTreeHeight(BTNode* root)

{

if(root==NULL)

return 0;

int h1=BinaryTreeHeight(root->left);

int h2=BinaryTreeHeight(root->right);

return h1>h2?h1:h2;

}

8.二叉树的层序遍历

顾名思义就是一层一层从左到右遍历

用一个队列来实现当一个根节点出队列，就将它的左右结点入队列，直到队列中无元素

void TreeLevelOrder(BTNode* root)

{

Queue q;//创建一个队列对象

QueueInit(&q);//队列初始化

if(root)

QueuePush(&q,root);//将根结点指针入队列

while(!QueueEmpty(&q))//判断队列是否为空，为空说明遍历结束

{

BTNode*front=QueueFront(&q);//取队首元素,防止下面出队首元素找不到根结点位置

QueuePop(&q);//将队首元素出队列

if(front)

{

printf("%c ",front->val);

QueuePush(&q,front->left);

QueuePush(&q,front->right);//将左右孩子入队列

}

}

TreeDestroy(root);

root==NULL;

}

拓展知识

知道一个树的结点数量，怎么算出该树的可能有几种情况

我们定义f(n)表示结点数为n的二叉树的情况数

零个结点也是一种情况，所以f(0)=1;

一个结点时，只有一种情况，则f(1)=1;

两个结点时，有两种情况，根结点一个，剩下结点左右孩子各一种情况，则f(2)=f(1)+f(1)=2;

三个结点时，根节点一个节点，剩下结点分为三种情形：

1.左子树两个结点右子树零个

2.右子树两个结点左子树零个

3.左右子树各一个节点

则f(3)=f(2)*f(0)+f(1)*f(1)+f(0)*f(2)

经过推算得到f(n)=f(n-1)*f(0)+f(n-2)*f(1)+…+f(0)*f(n-1)

上述式子可以化简成（2n)! / ( n! (n+1)! )在数学中被称为卡特兰数

有了上述式子知道结点数就能轻松算出树可能存在的情况数