11 几何（曲线与曲面）

贝塞尔曲线

定义

贝塞尔曲线：由控制点和线段组成的曲线，控制点是可拖动的支点。

如图，蓝色为贝塞尔曲线，p1, p2, p3为控制点，曲线和初始与终止端点相切，并且经过起点p0与终点p3。

de Casteljau Algorithm

de Casteljau算法描述了如何用多个点画出一条贝塞尔曲线。
其核心是线性插值和递归。
贝塞尔曲线的定义很像参数方程，给定一个参数t(范围为0-1)就能确定贝塞尔曲线上的一点，倘若取完所有t值，就能得到完整的贝塞尔曲线。

一阶贝塞尔曲线

二阶贝塞尔曲线

三阶贝塞尔曲线

代数式表达

将贝塞尔曲线展开可以得到n阶贝塞尔曲线的代数表达式：

注：

性质

• 必定经过起始与终止控制点

• 必定经与起始与终止线段相切

• 具有仿射变换性质，可以通过移动控制点移动整条曲线

• 凸包性质，曲线一定不会超出所有控制点构成的多边形范围

• • 凸包：墙上许多钉子，用一条橡皮筋包住最外边的钉子，再松手，橡皮筋收缩后的外框就是凸包。
    

分段贝塞尔曲线

传统贝塞尔曲线的缺点：当控制点多的时候不好控制曲线的形状。

分段贝塞尔曲线：将一条高次曲线分成多条低次曲线的拼接，其中用的最多的便是用很多的3次曲线来拼接。

贝塞尔曲面

以4 * 4 控制点的贝塞尔曲面为例：

1. 在这4个控制点之下利用第一个参数 u 运用第一章的计算贝塞尔曲线的方法得到蓝色点，因为有4列，所以一共可以得到如图所示的4个蓝色点。(灰色曲线分别为每列4个点所对应的贝塞尔曲线)
2. 在得到4个蓝色顶点之后，在这四个蓝色顶点的基础之下利用第二个参数 v 便可以成功得出贝塞尔曲面上一个点
3. 遍历所有的 u，v值就可以成功得到一个贝塞尔曲面