一、线性方程组

设有$n个未知数m$个方程的线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}$$
其中$a_{ij}是第i个方程的第j$个未知数的系数，$b_i是第i$个方程的常数项，$i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$。

当常数项$b_1,b_2,\cdots ,b_n$不全为零时，线性方程组（1）叫做$n$元非齐次线性方程组，当$b_1,b_2,\cdots ,b_n$全为零时，（1）式称为$n$元其次线性方程组。

对于线性方程组需要讨论以下问题：

1. 它是否有解？
2. 在有解时，它是否唯一？
3. 如果有多个解，如何求出它的所有解？

对于线性方程组（1）上述问题的答案取决于它的$m\times n个系数a_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$和右端的常数项$b_1,b_2,\cdots ,b_n$所构成的$m行n+1$列矩形数表：
$$\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}$$
这里横排称为行，竖排称为列；对于齐次线性方程相应问题的答案完全取决于他的$m\times n个系数a_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$所构成的$m行n列$矩形数表：
$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}$$

二、矩阵的定义

定义1 由$m\times n$个数$a_{ij}(i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,\cdots ,n)$排成的$m$行$n$列的数表
$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}$$
称为$m行n列$矩阵，简称$m\times n$矩阵，记作
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$
这$m\times n$个数称为矩阵A的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的$(i,j)$元，以数$a_{ij}为(i,j)$元的矩阵简记作$a_{ij}或者(a_{ij}{)}_{m\times n}$,$m\times n$阶矩阵也记作$A_{m\times n}$

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

**tips:**如无特殊说明，都为实矩阵。

行数和列数都等于$n$的矩阵称为$n$阶矩阵或$n$阶方阵。$n阶矩阵也记作A_n$

只有一行的矩阵$A=(a_1{a}_2\cdots a_n)$称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵
$$B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$
称为列矩阵，又称列向量。

两个矩阵行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果$A=(a_{ij})与B=(b_{ij})$是同行矩阵，并且它们的元素相等，即

$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots n)$

那么就称矩阵A和矩阵B相等，记作

$A=B$

元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O.

tips：不同型的零矩阵是不同的。

对于非齐次线性方程组：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m,\end{array}$$
有如下几个矩阵：
$$\begin{gathered} A=(a_{ij}) \\ x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right) \\ b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right) \\ B=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right) \end{gathered}$$
其中A成为系数矩阵，x成为未知数矩阵，b成为常数项矩阵，B成为增广矩阵。

例2 某长向三个商店（编号1,2,3）发送四种产品（编号一、二、三、四）的数量可列成矩阵
$$\begin{gathered} 行为商店编号，列为产品编号 \\ A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{34}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\end{array}\right) \end{gathered}$$
其中$a_{ij}$为工厂向第$i$家商店发送的第$j$种商品。

这四种商品的单价即单件质量也可列成矩阵
$$\begin{gathered} 行表示产品编号，列表示（单价、单件质量） \\ A=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\\ b_{41}& b_{42}\end{array}\right) \end{gathered}$$
其中$b_{i1}$为第$i$种商品的单价，$b_{i2}$表示第$i$种商品的单件质量。

例3 四个城市间的单向航线如图2.1所示，若令
$$a_{ij}=\{\begin{array}{l}1,从市到j市有1条单向航线，\\ 0,从市到j市没有单向航线，\end{array}$$

则图2.1可用矩阵表示为

$$\begin{gathered} 则图2.1可用矩阵表示为 \\ \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right) \end{gathered}$$
一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示。

例4 $n$个变量$x_1,x_2,\cdots ,x_n$与$m$个变量$y_1,y_2,\cdots ,y_m$之间的关系式
$$\{\begin{array}{l}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n,\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n,\\ \cdots \cdots \cdots \\ y_m=a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n\end{array}$$
表示一个从变量$x_1,x_2,\cdots ,x_n$到变量$y_1,y_2,\cdots ,y_m$的线性变换，其中$a_{ij}$为常数。线性变换的系数$a_{ij}$构成矩阵$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$.

tips:线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系。

例如线性变换
$$\{\begin{array}{l}{y}_1=\lambda x_1,\\ y_2=\lambda x_2,\\ \cdots \\ y_n=\lambda x_n\end{array}$$
对应n阶方阵：
$$A=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

这个方阵特点：从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，记作

$A=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$

特别当${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=1$时的线性变换叫做恒等变换，它对应的n阶方阵
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$
叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。矩阵特点：对角线上的元素都是1，其他元素都是0，即单位阵$E的(i,j)元e_{ij}$为
$$e_{ij}=\{\begin{array}{l}1,当i=j,\\ 0,当i\ne j\end{array}(i,j=1,2,\cdots ,n)$$

结语

❓QQ:806797785

⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math

参考：

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p24-29.

[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p6.