0201线性方程组和矩阵-矩阵及其运算-线性代数

news2024/11/18 9:25:39

文章目录

- 一、线性方程组
- 二、矩阵的定义
- 结语

一、线性方程组

设有 $n 个未知数 m$ 个方程的线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{cases}$
其中 $a_{ij}是第i个方程的第j$ 个未知数的系数， $b_i是第i$ 个方程的常数项， $i=1,2,\cdots,m;\quad j=1,2,\cdots,n$ 。

当常数项 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 不全为零时，线性方程组（1）叫做 $n$ 元非齐次线性方程组，当 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 全为零时，（1）式称为 $n$ 元其次线性方程组。

对于线性方程组需要讨论以下问题：

它是否有解？
在有解时，它是否唯一？
如果有多个解，如何求出它的所有解？

对于线性方程组（1）上述问题的答案取决于它的 $m\times n个系数a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 和右端的常数项 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 所构成的 $m 行 n + 1$ 列矩形数表：
$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\\ \end{matrix}$
这里横排称为行，竖排称为列；对于齐次线性方程相应问题的答案完全取决于他的 $m\times n个系数a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 所构成的 $m 行 n 列$ 矩形数表：
$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}$

二、矩阵的定义

定义1 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表
$\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}$
称为 $m 行 n 列$ 矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵，记作
$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\cr \vdots&\vdots&&\vdots\cr a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\cr \end{pmatrix}$
这 $m\times n$ 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数 $a_{ij}$ 位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的 $(i, j)$ 元，以数 $a_{ij}为(i,j)$ 元的矩阵简记作 $a_{ij}或者(a_{ij})_{m\times n}$ , $m\times n$ 阶矩阵也记作 $A_{m\times n}$

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

**tips:**如无特殊说明，都为实矩阵。

行数和列数都等于 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵。 $n阶矩阵也记作A_n$

只有一行的矩阵 $A=(a_1\quad a_2\quad \cdots\quad a_n)$ 称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵
$B=\begin{pmatrix} b_1\cr b_2\cr \vdots\cr b_m \end{pmatrix}$
称为列矩阵，又称列向量。

两个矩阵行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。如果 $A=(a_{ij})与B=(b_{ij})$ 是同行矩阵，并且它们的元素相等，即

$a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots n)$

那么就称矩阵A和矩阵B相等，记作

$A = B$

元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O.

tips：不同型的零矩阵是不同的。

对于非齐次线性方程组：
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\\ \end{cases}$
有如下几个矩阵：
$A=(a_{ij})\\ x=\begin{pmatrix} x_1\cr x_2\cr \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix}\\ b=\begin{pmatrix} b_1\cr b_2\cr \vdots\\ b_m\\ \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\\ \end{pmatrix}$
其中A成为系数矩阵，x成为未知数矩阵，b成为常数项矩阵，B成为增广矩阵。

例2 某长向三个商店（编号1,2,3）发送四种产品（编号一、二、三、四）的数量可列成矩阵
$行为商店编号，列为产品编号\\ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{34}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ \end{pmatrix}$
其中 $a_{ij}$ 为工厂向第 $i$ 家商店发送的第 $j$ 种商品。

这四种商品的单价即单件质量也可列成矩阵
$行表示产品编号，列表示（单价、单件质量）\\ A=\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\\ b_{31}&b_{32}\\ b_{41}&b_{42}\\ \end{pmatrix}$
其中 $b_{i1}$ 为第 $i$ 种商品的单价， $b_{i2}$ 表示第 $i$ 种商品的单件质量。

例3 四个城市间的单向航线如图2.1所示，若令
$a_{ij}=\begin{cases} 1,从市到j市有1条单向航线，\\ 0,从市到j市没有单向航线，\\ \end{cases}$

则图2.1可用矩阵表示为

在这里插入图片描述

$则图2.1可用矩阵表示为\\ \begin{pmatrix} 0&1&1&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&1&0\\ \end{pmatrix}$
一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示。

例4 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 与 $m$ 个变量 $y_1,y_2,\cdots,y_m$ 之间的关系式
$\begin{cases} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n,\\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n,\\ \cdots\cdots\cdots\\ y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n\\ \end{cases}$
表示一个从变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 到变量 $y_1,y_2,\cdots,y_m$ 的线性变换，其中 $a_{ij}$ 为常数。线性变换的系数 $a_{ij}$ 构成矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ .

tips:线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系。

例如线性变换
$\begin{cases} y_1=\lambda x_1,\\ y_2=\lambda x_2,\\ \cdots\\ y_n=\lambda x_n \end{cases}$
对应n阶方阵：
$A=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&\lambda_n\\ \end{pmatrix}$

这个方阵特点：从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，记作

$A=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$

特别当 $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$ 时的线性变换叫做恒等变换，它对应的n阶方阵
$A=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix}$
叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。矩阵特点：对角线上的元素都是1，其他元素都是0，即单位阵 $E的(i,j)元e_{ij}$ 为
$e_{ij}=\begin{cases} 1,当i=j,\\ 0,当i\not=j \end{cases} (i,j=1,2,\cdots,n)$