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这样记没任何用处，还很浪费时间，但是这样删了太可惜了，反正没人看，就随便发发，不完整的

第一章 极限 函数 连续

1.1 极限存在准则及两个重要极限

1.1.1 夹逼定理

1.1.1.1 数列夹逼定理

如果数列 { X n } \{X_n\} {Xn​} , { Y n } \{Y_n\} {Yn​} 及 { Z n } \{Z_n\} {Zn​} 满足下列条件：
(1)当$n>N_0$ 时，其中$N_0\in N^{\ast }$,有$Y_n\le X_n\le Z_n$ .
(2) { Y n } \{Y_n\} {Yn​} 、 { Z n } \{Z_n\} {Zn​} 有相同的极限$a$ ,设$-\infty <a<+\infty$ , 则，数列 { X n } \{X_n\} {Xn​} 的极限存在，且${\lim }_{n\to \infty }{X}_n=a$ .

证明：因为${\lim }_{n\to \infty }{Y}_n=a$ ,${\lim }_{n\to \infty }{Z}_n=a$ ,所以根据数列极限的定义，对于任意给定的正数$\epsilon$ ,存在正整数$N_1$、$N_2$ ,当$n>N_1$时，有$|Y_n-a|<\epsilon$,当$n>N_2$ 时，有$|Z_n-a|<\epsilon$,取 n = m a x { N 0 , N 1 , N 2 } n=max\left\{N_0,N_1,N_2\right\} n=max{N0​,N1​,N2​},则当$n>N$ 时， $|Y_n-a|<\epsilon$ 、$|Z_n-a|<\epsilon$ 同时成立，且$Y_n\le X_n\le Z_n$ ,即$a-\epsilon <Y_n<a+\epsilon$ ,$a-\epsilon <Z_n<a+\epsilon$ ,又因为$a-\epsilon <Y_n\le X_n\le Z_n<a+\epsilon$ ,即$|X_n-a|<\epsilon$ 成立。也就是说${\lim }_{n\to \infty }{X}_n=a_n$

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1.1.1.2函数夹逼定理

$f(x)$与$g(x)$在xO处连续且存在相同的极限A，即$x\to x$O时，lim f(x)=lim $g(x)=\mathbb{A}$,则若有函数K(x)在x0 的某邻域内(如$x0\in (x1,x2)$),恒有f(x)sk(x)sg(x),则当X趋近x0时，有lim f(x)slim k(x)slim g(x), 即Aslim k(x)sA
故lim k(x)=A。
简单地说：函数A>B,函数B>C,函数A的极限是X，函数C的极限也是X ,那么函数B的极限就一定是X，这个 就是夹逼定理。

1.1.2 两个重要极限

1.1.2.1 极限公式1

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$
$$使用该公式时注意它的使用条件。一定是对\frac{0}{0}这样的函数形式求极限$$

1.1.2.1.1 证明

在该圆里，半径为1，OC为X，AC为Y，
则sinθ=y/r=y，tanθ=Y/X=BD/OB=BD，弧AB的长=θ * 2πr/360 =θ * 2π/360 =θ
扇形的面积公式为lr/2=θ

1.S△OBD＞S扇OAB＞S△OAB=tanθ/2>θ/2>sinθ/2
2.tanθ > θ > sinθ = tanθ/sinθ > θ/sinθ > 1 = 1/cosθ>θ / sinθ > 1，在θ趋于0时cossθ的极限值为1，因此1/cosθ极限值为1，根据夹逼定理θ / sinθ的极限值为1。

1.1.2.1.2 数列的单调有界收敛准则

1.1.2.1.2.1 二项式定理

1.二项式定理的内容
$(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\cdots +C_n^k{a}^{n-k}{b}^k+\cdots +C_n^n{b}^n$
右边多项式叫(a+b)^n的二项展开式；
2.二项式系数$:C_n^0,C_n^1,C_n^2,...C_n^r,...C_n^n$
3,二项展开式的通项$T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$
(b+a)^n, (a-b)^n的通项则分别为：$$T_{k+1}=C_n^k{b}^{n-k}{a}^k;T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{\left(-b\right)}^k$$
4.在定理中，令$a=1,b=x$,则
$${\left(1+x\right)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\cdots +C_n^r{x}^r+\cdots +C_n^n{x}^n$$

1.1.2.1.2.2 证明

$$\text{证明 }{a}_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n\text{ 收敛}.$$

$$\begin{array}{rlrl}& & & \text{证明}{a}_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n\text{ 收敛}.\\ & & & \text{证}{a}_n=1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+\cdots +\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{1}{n^k}\\ & & & +\cdots +\frac{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}{n!}\cdot \frac{1}{n^n}\\ & & & =1+1+\frac{1}{2!}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)\\ & & & +\cdots +\frac{1}{n!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n}\right)\\ & & & \therefore a_n<a_{n+1},a_n\text{ 单调增}.\end{array}$$
$$\begin{array}{rlrl}& 又a_n& & <1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{k!}+\cdots +\frac{1}{n!}\\ & & & <1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}<1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3\\ & \therefore a有界.& & \\ & \text{记作}\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e}\text{0<e<3}& & \end{array}$$

1.1.2.2 极限公式2

$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$
变式

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

1.1.2.2.1 证明（与1.2.1.2数列单调有界收敛准则对应）

证明：首先证明此极限存在
构造数列 $x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$

$$\begin{array}{rl}{x}_n& =1+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+C_n^3\frac{1}{n^3}+\dots +C_n^n\frac{1}{n^n}\\ & =1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot \frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{n(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot 1}{n!}\cdot \frac{1}{n^n}\\ & =1+1+\frac{1}{2!}\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3!}\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots +\frac{1}{n!}\cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\\ \cdots (1-& \frac{n-1}{n})\\ & <2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\\ & <2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots ++\frac{1}{2^{n-1}}\\ & =3-\frac{1}{2^{n-1}}\\ & \text{<3}\end{array}$$
而对于n+1

$$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& ={\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}\\ & =1+1+\frac{1}{2!}\cdot \left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{3!}\cdot \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots +\\ & \frac{1}{n!}\cdot \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdot \cdot \cdot \left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)+\\ & \frac{1}{(n+1)!}\cdot \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots \left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{n+1}\right)\\ & \text{>}{x}_n\end{array}$$

由单调有界数列必有极限可知，数列$x_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$的极限一定存在。记此极限为$e$
对于实数 $x$ ,则总存在整数$n$ ,使得$n⩽x⩽n+1$

$$\text{则有}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n<{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}=\frac{{\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}}{{\lim }_{x\to \infty }\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}$$

$$=\frac{e}{1+0}=e$$

${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}={\lim }_{n\to \infty }\left({\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$

$$\begin{array}{rl}& =\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{n}\right)\\ & =e\cdot (1+0)\\ & =e\end{array}$$
根据两边夹定理，函数 $f(x)={\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$的极限存在，为e

1.2 无穷大与无穷小

1.2.1 概念

1.2.1.1 无穷小的概念

$$\begin{array}{rl}& \text{若}\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=0,\text{则称}f\left(x\right)\text{为}x\to x_0\text{时的无穷小量}\left(\text{或无穷小}\right).\\ & \text{记作 }\alpha (x),\beta (x)\text{等}.\end{array}$$
定理1：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)$
定理2：

1. 有限个无穷小的和为无穷小
2. 有限个无穷小的积为无穷小
3. 无穷小与有界函数的积仍为无穷小

1.2.1.2 无穷大的概念

设$f(x)$在$x_0$某去心邻域$\mathring{U}(x_0)$有定义， $\forall >0,\exists \delta >0$,当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)|>M.$ 则称$f(x)$为$x\to x_0$时的
无穷大量(或无穷大).
记作 lim$x\to x_0$ $f(x)=\infty$
定理：

1. 无穷大的积仍为无穷大
2. 无穷大的和不一定为无穷大

1.2.1.3 无穷小阶的概念

定义3 (无穷小的阶) 设$\alpha (x)$与$\beta (x)$ 是自变量 x 在同一变化趋势下的两个无穷小，且$\beta (x)\ne 0$

(1) 若lim$\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$,则称$\alpha (x)$是$\beta (x)$ 的高阶无穷小，记作$\alpha (x)=o\left[\beta (x)\right]$
(2) 若 lim$\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C\ne 0$,则称$\alpha (x)$与$\beta (x)$ 为同阶无穷小；
(3)若 lim$\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$,则称$\alpha (x)$与$\beta (x)$为等价无穷小，记作$\alpha (x)\sim \beta (x);$ (3)若lim .
(4)若${\lim }_{[0,0,1]}\frac{\alpha (x)}{(x-{)}^k}=C\ne 0,(k>0)$,则称$\alpha (x)$ 是$\beta (x)$ 的$k$ 阶无穷小.