1. 动态规划（Dynamic Programming，DP）和递归定义及优缺点

动态规划（Dynamic Programming，DP）和递归（Recursion）是解决复杂问题的两种不同方法，它们在计算机科学中常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。

1.1 递归 (Recursion)定义及优缺点

递归是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决问题的方法。在递归中，一个函数调用自身来解决相同或相似的子问题。递归的关键在于定义递归结束条件，也称为基例（base case）。

优点：

• 代码通常更简洁、更易于理解。
• 直观地表达了问题的数学定义。

缺点：

• 可能导致大量的重复计算，因为相同的子问题可能被多次解决。
• 递归深度过深可能导致栈溢出。

1.2 动态规划 (Dynamic Programming)定义及优缺点

动态规划是一种优化的递归方法，它通过存储子问题的解来避免重复计算。动态规划通常使用表格（数组或哈希表）来存储已经解决的子问题的答案，这样在解决新问题时可以直接查找答案，而不是重新计算。

优点：

• 减少了重复计算，提高了效率。
• 适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。

缺点：

• 需要额外的存储空间来保存子问题的解。
• 实现相对复杂，需要预先定义DP表格的结构和状态转移方程。

2. 动态规划（DP）和递归的特点

1. 时间复杂度：迭代版本（动态规划）通常比递归更快，因为它避免了重复计算子问题。
2. 空间复杂度：递归通常使用较少的额外空间（除了栈空间），而迭代版本需要额外的空间来存储DP表格。
3. 实现难度：递归实现通常更直观和简单，而动态规划需要设计DP表格和状态转移方程，可能更难以理解和实现。
4. 可读性：递归代码通常更易于阅读和理解，尤其是对于数学和组合问题。动态规划的代码可能因为状态转移和存储结构而更难理解。

在实际应用中，选择递归还是动态规划取决于具体问题、性能要求和实现的复杂度。对于具有大量重叠子问题的情况，动态规划通常是更好的选择。然而，如果递归已经足够高效，或者问题规模很小，递归可能是一个更简单直接的解决方案。

3. 如何判断一个问题是否适合使用DP来解决，几个关键特性来评估：

3.1. 重叠子问题（Overlapping Subproblems）：

• 问题是否可以分解为多个子问题，且这些子问题之间存在重叠。也就是说，不同的问题可能会包含相同的更小子问题，而这些子问题的解会被多次计算。

3.2. 最优子结构（Optimal Substructure）：

• 问题的最优解包含其子问题的最优解。这意味着可以通过组合子问题的最优解来构造整个问题的最优解。如果一个问题的最优解可以从其子问题的最优解中构建，那么这个问题具有最优子结构。

3.3. 无后效性（No Aftereffect）：

• 一旦子问题被解决，它的解就不会再改变。这意味着后续的问题解决不会影响已经解决的子问题的结果。

3.4. 有清晰的状态（Clear State）：

• 问题的状态应该清晰定义，并且可以从状态转移中得到子问题的解。状态通常表示问题的某个阶段或配置。

3.5. 状态转移方程（State Transition Equations）：

• 存在一个或多个状态转移方程，用于描述如何从一个或多个较小的子问题的解来构造当前问题的解。

如果问题满足以上条件，那么使用动态规划可能是一个有效的解决方案。动态规划特别适用于解决组合优化问题，如最短路径问题、最长公共子序列问题、背包问题、编辑距离问题等。

在实际应用中，即使你的问题满足上述条件，也需要考虑实现动态规划的复杂性和所需的空间。有时候，如果问题规模很小，或者没有明显的重叠子问题，简单的递归或迭代方法可能更加高效和易于实现。此外，对于某些问题，动态规划可能需要较长时间来设计和调试状态转移方程。

最后，对于某些问题，动态规划可能不是唯一的解决方案，有时候贪心算法、回溯算法或其他方法也可能是可行的。因此，在决定使用动态规划之前，最好对问题进行全面分析，并考虑所有可能的解决方案。

4. 分别使用三种典型的算法解决背包问题

背包问题（典型的组合优化问题）通常描述为：给定一组物品，每个物品都有重量和价值，在不超过背包最大承重的情况下，选择哪些物品可以使背包中物品的总价值最大。

4.1 递归 + 动态规划解决背包问题

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_WEIGHT = 10; // 背包的最大承重

int knapsackDP(const vector<int>& weights, <