一【题目类别】

• 数学

二【题目难度】

• 困难

三【题目编号】

• 233.数字 1 的个数

四【题目描述】

• 给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。

五【题目示例】

• 示例 1：

  • 输入：n = 13
  • 输出：6

• 示例 2：

  • 输入：n = 0
  • 输出：0

六【解题思路】

• 本题有一定难度，我第一次使用暴力解法，$O(n)$的时间复杂度，逐一判断每一个数字1的个数，最后超时了，显然需要换一个思路
• 为了降低时间复杂度，就不能一个一个的处理，而是要分批处理，主要思路是求出个、十、百……每一位1的个数，最后求和就可以了
• 当数位为$10^k$时（可能是个、十、百……任意一位），最后的$k$位数字每$10^{k+1}$个数字就会循环一次，而且其中包括$10^k$个1，那我们就要求$n$中有多少个这样的循环，可用除法实现：$\lfloor \frac{n}{10^{k+1}}\rfloor$，这样这一部分1的个数就是：$\lfloor \frac{n}{10^{k+1}}\rfloor \times 10^k$
• 刚才处理了在循环内1的个数，那么不在循环内的呢？也就是剩余的$n\mathrm{mod}10^{k+1}$个数，这一部分1的个数应为$n\mathrm{mod}10^{k+1}-10^k+1$，剩余的这些数有几种情况：
  • 上式的值小于0，那么就将此值调整为1出现0次，说明1没出现过
  • 上式的值大于$10^k$，说明1出现了$10^k$个
  • 还有另一个不确定的阈值，要根据位数去判断，如果上式的值不仅大于$10^k$，还大于此阈值，说明1出现的次数最多就是此阈值对应的出现次数，所以应该在两者中取最小
• 根据以上思路就可得到计算公式：
  $$\lfloor \frac{n}{10^{k+1}}\rfloor \times 10^k+\min \left(\max \left(n\mathrm{mod}10^{k+1}-10^k+1,0\right),10^k\right)$$

七【题目提示】

• $0<=n<=10^9$

八【时间频度】

• 时间复杂度：$O(logn)$，其中$n$为传入参数的大小
• 空间复杂度：$O(1)$

九【代码实现】

1. Java语言版

class Solution {
    public int countDigitOne(int n) {
        long mul = 1;
        int res = 0;
        for(int k = 0;mul<=n;k++){
            res += (n / (mul * 10)) * mul + Math.min(Math.max(n % (mul * 10) - mul + 1,0),mul);
            mul *= 10;
        }
        return res;
    }
}

2. C语言版

int countDigitOne(int n)
{
    long mul = 1;
    int res = 0;
    while(mul <= n)
    {
        res += (n / (mul * 10)) * mul + fmin(fmax(n % (mul * 10) - mul + 1,0),mul);
        mul *= 10;
    }
    return res;
}

3. Python版

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        mul = 1
        res = 0
        while mul <= n:
            res += (n // (mul * 10)) * mul + min(max(n % (mul * 10) - mul + 1,0),mul)
            mul *= 10
        return res

十【提交结果】

1. Java语言版
   

2. C语言版
   

3. Python语言版