1.Permutation Equivariance of Graph Filters

图滤波器的置换等价性
引入置换矩阵的概念来表示图信号及其移位算子的置换。

上面的1表示元素全为1的向量。

置换并没有改变节点的值，只是改变了节点的名称。这个过程是独立于标签的，所以置换等价，这是图卷积滤波和GNNs所满足的一个要求。

在图信号$(S,x)$和$(\hat{S},\hat{x})=(P^{T}SP,P^{T}x)$上的图滤波器$H(S)$，它是由系数$h_k$对移位算子$S$作用的多项式函数。它的表达式如下：

置换前后，缩放系数是不变的，输入信号由$x$变为$\hat{x}$,移位算子由$S$变为$\hat{S}$.
图滤波器的等价置换定理


图卷积滤波要求图信号的处理独立于节点的标签。
$$---------------------------$$GNNs继承了图滤波器的置换等价性。

GNNs的等价置换定理



距离模置换算子的定义：

2.Lipschitz and Integral Lipschitz Filters

图过滤器是GNNs的可学习参数。接下来讨论Lipschitz和Lipschitz滤波器。

Lipschitz 滤波器的定义：


Integer Lipschitz 滤波器的定义：




对于integral Lipschitz 滤波器：

3.Stability of Graph Filters to Scaling

分析图滤波器对移位算子缩放扰动的稳定性：
给出以下缩放：
将图的每一条边都进行缩放，缩放系数为$1+ϵ$，移位算子则变为$\hat{S}=(1+ϵ)S$.

这个缩放是合理的，因为边的变化与其值成比例。但是又不现实：因为所有的边都在以同样的比例变化。但是它依旧是合理的。

以下定理给出结论：Integral Lipschitz 图滤波器对缩放是稳定的。

4.Stability of Graph Neural Networks to Scaling

分析GNNs对移位算子缩放的稳定性。
首先做出几个基本假设：
1.在GNNs的每一层，构成相应感知器的滤波器已经被标准化为单位算子范数。

因为图滤波器在GFT域上是逐点的，所以这个条件等价于频率响应的最大值为1。
2.非线性$\sigma$是Lipschitz，其Lipschitz常熟标准化为1。


以下定理给出结论：Integral Lipschitz GNNs对缩放是稳定的。



GNNs既稳定又有判别能力，这说明了GNNs相对于线性图滤波器有更好的性能。