曲线曲面 - 连续性, 坐标变换矩阵

news2025/1/20 4:40:07

连续性
有两种：参数连续性（Parametric Continuity）、几何连续性（Geometric Continuity）
参数连续性：
零阶参数连续性，记为 $C^0$ ，指相邻两段曲线在结合点处具有相同的坐标

一阶参数连续性，记为 $C^1$ , 指相邻两段曲线在结合点处具有相同的一阶导数;

二阶参数连续性，记为 $C^2$ , 指相邻两段曲线在结合点处具有相同的二阶导数;

几何连续性：

与参数连续性不同的是，几何连续性只要求参数成比例而非相等。

零阶几何连续性，记为 $G^0$ , 指相邻两段曲线在结合点处具有相同的坐标;

一阶几何连续性，记为 $G^1$ , 指相邻两段曲线在结合点处的一阶导数成比例、但大小不一定相等;

二阶几何连续性，记为 $G^2$ , 指相邻两段曲线在结合点处的一阶导数成比例、二阶导数成比例，即曲率一致，但大小不一定相等;

通常C连续能保证G连续，但是反过来不一定成立。

平移变换，旋转变换
平移变换的坐标表示为
$\left\{\begin{matrix} X^=X + Tx & & \\ Y^=Y + Ty & & \\ Z^=Z + Tz & & \end{matrix}\right.$
平移变化矩阵为： $\begin{bmatrix} 1 &0 &1 &^{_{Tx}} \\ 0 &1 &0 &^{_{Ty}} \\ 1 &0 &0 &^{_{Tz}} \\ 1 &0 &0 &1 \end{bmatrix}$

式中 $^{_{Tx}}$ , $^{_{Ty}}$ , $^{_{Tz}}$ 就是平移参数。绕 x 轴旋转( $\beta$ 为正向角)，旋转变换
$\left\{\begin{matrix} x'=x{^{}} & & \\ y'=ycos\beta - zsin\beta & & \\ z'=ysin\beta - zcos\beta & & \end{matrix}\right.$
围绕 x 轴旋转( $\beta$ 为正向角)的三维变换矩阵为 $T=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &cos\beta &-sin\beta &0 \\ 0 &sin\beta &cos\beta &0 \\ 0 & 0& 0& 0& \end{bmatrix}$

围绕 y 轴旋转( $\beta$ 为正向角)的三维变换矩阵为 $T=\begin{bmatrix} cos\beta &0 &sin\beta &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ -sin\beta &0 &cos\beta &0 \\ 0 & 0& 0& 1& \end{bmatrix}$

围绕z 轴旋转( $\beta$ 为正向角)的三维变换矩阵为 $T=\begin{bmatrix} cos\beta &-sin\beta &0 &0 \\ sin\beta &cos\beta &0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 &0 &0 & 1 \end{bmatrix}$

投影变换

投影就是从投影中心发出射线，经过三维物体上的每个点后，与投影面相交所形成的交点的集合，因此把三维坐标转化为二维坐标的过程称为投影变换。根据投影中心与投影面之间的距离的不同，投影可分为平行投影和透视投影。投影中心到投影面的距离为有限值时，得到的投影为透视投影，若此距离为无穷大，则投影为平行投影。平行投影又可分为正投影和斜投影。投影方向不垂直于投影面的平行投影称为斜投影，投影方向垂直于投影面的平行投影称为正交投影。

所谓正交投影，是指仅使用物体顶点的x坐标和y坐标进行绘制，几何意义上认为是将物体投影到XOY 表面内。设空间中的一点P(x,y,z) , 该点在XOY 平面上的正交投影坐标为P’(x’,y’), 其中
正交投影：
$\left\{\begin{matrix} {x}'=x\\ {y}'=y \end{matrix}\right.$