1、逻辑回归概述

逻辑回归（Logistic Regression）主要解决二分类问题，用来表示某个事件发生的可能性。逻辑回归在机器学习知识结构中的位置如下：

1.1、逻辑回归

逻辑回归的思想最早可以追溯到19世纪，由英国统计学家Francis Galton在研究豌豆遗传问题时首次提出。然而，真正将逻辑回归应用于机器学习的是加拿大统计学家Hugh Everett，他在1970年代提出了广义线性模型（GLM），其中包括逻辑回归

逻辑回归这个算法的名称有一定的误导性。虽然它的名称中有“回归”，但它在机器学习中不是回归算法，而是分类算法。因为采用了与回归类似的思想来解决分类问题，所以它才会被称为逻辑回归

在逻辑回归中，我们不是直接预测输出值，而是预测输出值属于某一特定类别的概率。例如，一封邮件是垃圾邮件的概率（是与不是），广告被点击的概率（点与不点）等

逻辑回归通过Sigmoid函数将样本的特征与样本发生的概率联系起来，在拟合样本数据发生概率的时候，其实是在解决一个回归问题，当概率计算出来后，再根据概率进行分类处理。逻辑回归是在解决样本与样本发生的概率之间的回归问题

逻辑回归的函数表达式（Logistic函数或Sigmoid函数）为
$$\mathrm{g}(\mathrm{z})=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{z}}}$$

Sigmoid函数有时也用$\sigma (z)$表示，其对应的图像为

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

z = np.arange(-5, 5, 0.01)
y = 1/(1+np.exp(-z))

plt.plot(z, y)
plt.show()

逻辑回归基于概率来进行分类。对于给定输入特征X，逻辑回归模型会计算输出标签y=1（正类）的条件概率：
$$P(y=1|X)=\frac{1}{1+e^{-({\theta }^{T}X+b)}}$$

其中，$\omega$是特征权重，b是偏置项

逻辑回归将线性回归的结果$y$=${\theta }^{T}X$+$b$带入到Sigmoid函数的自变量，并将其映射到0和1之间，使其可以解释为概率

逻辑回归与线性回归的关键区别在于，后者训练出来的模型的预测值域为($-\infty$，+$\infty$)，换句话说，也就是对值域没有限制；而对于表示概率的值而言，其值域都是在(0，1)之间

更多关于逻辑回归的介绍见文章：传送门

1.2、逻辑回归的优缺点

优点：

• 模型简单，分类计算量小，存储资源低，训练和预测速度快
• 预测结果是观测样本的概率，易于理解，增加了解释性
• 对逻辑回归而言，多重共线性并不是问题，它可以结合L2正则化来解决该问题

缺点：

• 只能处理二分类问题，且逻辑回归假设数据是线性可分的，对于非线性特征，需要进行转换
• 容易欠拟合，一般准确度不太高

1.3、逻辑回归与线性回归

逻辑回归与线性回归的区别详见文章：传送门

2、逻辑回归的原理

2.1、逻辑回归的概念与原理

逻辑回归的概念与原理推导详见文章：传送门

2.2、逻辑回归的损失函数

在逻辑回归（详见：传送门）一文中，我们已经给出并推导了逻辑回归的损失函数
$$J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y_i\ln {\hat{y}}_i+(1-y_i)\ln (1-{\hat{y}}_i)]$$

其中