一、定义：
为了避免搜索二叉树的高度增长过快，降低二叉树的性能，规定在插入和删除二叉树的结点的时候，任何结点左右子树的高度差绝对值不超过1，这样的二叉树被称为平衡二叉树（balanced Binary Tree），简称平衡树。在搜索二叉树BST的基础上增加以上性质，就称为AVL树。
二、AVL树的构造
1. AVL树的结点是一个三叉链结构：相比BST多了一个指向parent的结点。
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode {
pair<K,V> _kv;//结点值
AVLTreeNode* _parent;//指针，三叉链
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K,V> kv)
:_kv(kv)
, _parent(nullptr)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _bf(0)
{}
};2.AVL树的插入：
- 首先，从根结点开始，与待插入结点比较大小，直到直到插入位置——叶子结点的空孩子指针，然后建立新结点，并与父节点链接。
- 然后修改插入结点的父节点的平衡因子，左节点插入，平衡因子-1，反之，加1。
- 父节点平衡因子修改后，分三种情况处理：
①父节点平衡因子为0，不用处理return。
②父节点平衡因子为±1，向上传递，回到第二步，此时cur=parent，parent=grantparent，根据cur和parent的位置关系，修改平衡因子。
③父节点平衡因子为±2，根据插入结点cur、parent以及grandparent的位置，分4种情况，进行4种旋转结束。
3.AVL树的四种旋转
右单旋：条件为
条件为：if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)所有情况下的结构图如下：h>=0
void rotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* cur_right = cur->_right;
parent->_left = cur_right; //旋转第一步parent和cur_right的链接;
if (cur->_right != nullptr)//X
cur_right->_parent = parent;
cur->_right = parent; //再处理cur和parent的链接
Node* parent_parent = parent->_parent;//保存结点，用于处理，cur->parent;
parent->_parent = cur;
if (parent == _root) //处理cur和parent_parent的链接
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;//X
}
else {
cur->_parent = parent_parent;
if (parent_parent->_left == parent)
{
parent_parent->_left = cur;
}
else {
parent_parent->_right = cur;
}
}
parent->_bf = 0;//旋转后平衡因子为0
cur->_bf = 0;
}左单旋：
条件为：if(parent->_bf==2&&cur->_bf==1)所有情况下的结构图如下：h>=0
void rotateL(Node* parent) {
Node* cur = parent->_right;
Node* cur_left = cur->_left;
parent->_right = cur_left;
if(cur_left!=nullptr)
cur_left->_parent = parent;
cur->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (parent == _root)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = cur;
}
else
{
ppNode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
}先左后右双旋:
条件是 if(parent->_bf==-2&&cur->_bf==-1)结构图如下： 注意H==0时，H-1=0
void rotateLR(Node* parent) {
Node* cur = parent->_left;
Node* cur_right = cur->_right;
int bf = cur_right->_bf;//根据此节点的平衡因子决定，上层三个参加旋转的结点的平衡因子
rotateL(parent->_left);//对平衡因子==±1的结点，即上层堆栈的cur，作为单左旋的parent，旋转后转为，单右旋的情况，再单右旋。
rotateR(parent);
if (bf == 1) {
parent->_bf = 0;
cur->_bf = -1;
cur_right = 0;
}
else if (bf == -1) {
parent->_bf = -1;
cur->_bf =0;
cur_right->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) {
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
cur_right->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}先右后左双旋:
条件是：if(parent->_bf==2&&parent->_bf==-1)结构图如下： 注意H==0时，H-1=0
void rotateRL(Node* parent) {
Node* cur = parent->_right;
Node* cur_left = cur->_left;
int bf = cur_left->_bf;
rotateR(parent->_right);
rotateL(parent);
if (bf == -1) {
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 1;
cur_left->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) {
parent->_bf = -1;
cur->_bf = 0;
cur_left->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) {//当cur_left的子节点为空时，bf=0,
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
cur_left->_bf = 0;
}
else {
assert(false);
}
}
