回溯算法可以解决的问题

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

Leetcode 77.组合

---------------🎈🎈题目链接🎈🎈-------------------

解法1 回溯法三部曲，函数参数、终止条件和单层搜索逻辑

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();  // 用于汇总单一结果作为最终结果
    List<Integer> path = new ArrayList<>();    // 用于存放符合条件单一结果

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n,k,1);
        return result;
    }
    public void backtracking(int n, int k, int startindex){ // 1.确定递归函数的参数和返回值
        // 2.确定终止条件：当最后得到的path的大小等于k 就可以将path存入result中了 终止递归
        // 注意一下！！这里把path存进result的时候，不能直接存path，不然就是浅拷贝，最后result中的值都一样
        if(path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        // 3. 确定横向的单层搜索逻辑 每次搜索都是从startindex开始，startindex保证取过不再取 保证【组合】
        // for循环用来横向遍历，从左到右取数 取过的数字不再取。递归的过程是纵向遍历，下一层搜索要从i+1开始。
        // 这里i<=n是因为 数据是范围 [1, n]，i就代表了数据，而不是索引
        
        for(int i = startindex; i <= n; i++){ // 控制树的横向遍历
            path.add(i);  // 处理节点：将i加入到path路径中
            backtracking(n,k,i+1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从startindex = i+1开始
            path.removeLast(); // 回溯，撤销处理的节点
        }

    } 
}  

注意事项 ⭐️
注意浅拷贝和深拷贝：使用new ArrayList<>(path)
注意移除ArrayList的最后一个元素方法： path.removeLast()

时间复杂度：分析回溯问题的时间复杂度，有一个通用公式：路径长度×搜索树的叶子数。对于本题它等于 O(k⋅C(n,k)）

对于给定的n个元素，从中选择k个元素的组合数是C(n, k)。每个组合的平均长度是k（即组合中有k个元素），

空间复杂度：O(k)，递归调用栈最大深度为k（k为要生成的组合的长度）

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解法一plus 回溯法+剪枝

注意事项 ⭐️
注意浅拷贝和深拷贝：使用new ArrayList<>(path)
注意移除ArrayList的最后一个元素方法： path.removeLast()
剪枝优化：if(n-(i-startindex)<k) continue; // 剪枝操作 自己写出来所有的变量，就知道了！！！要动手

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();  // 用于汇总单一结果作为最终结果
    List<Integer> path = new ArrayList<>();    // 用于存放符合条件单一结果

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n,k,1);
        return result;
    }
    public void backtracking(int n, int k, int startindex){ // 1.确定递归函数的参数和返回值
        // 2.确定终止条件：当最后得到的path的大小等于k 就可以将path存入result中了 终止递归
        // 注意一下这里把path存进result的时候，不能直接存path，不然就是浅拷贝，最后result中的值都一样
        if(path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        // 3. 确定横向的单层搜索逻辑 每次搜索都是从startindex开始，startindex保证取过不再取 保证【组合】
        // for循环用来横向遍历，从左到右取数 取过的数字不再取。递归的过程是纵向遍历，下一层搜索要从i+1开始。
        // 这里i<=n是因为 数据是范围 [1, n]，i就代表了数据，而不是索引
       
        for(int i = startindex; i <= n; i++){ // 控制树的横向遍历
            if(n-(i-startindex)<k) continue;  // 剪枝操作！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
            path.add(i);  // 处理节点：将i加入到path路径中
            backtracking(n,k,i+1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从startindex = i+1开始
            path.removeLast(); // 回溯，撤销处理的节点
        }

    } 
}

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另一道组合回溯问题 216. 组合总和 III

相对于77. 组合 (opens new window)，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,…,9]。

本题k相当于树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。

例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。

解法：回溯

遍历求加和sum，sum=n时，若递归深度为k，则将当前path加入result

if(sum == n){
	if(path.size() == k){
		result.add(new ArrayList<>(path));  // 注意新建ArrayList赋值！！！！！！
	}
	return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回
}

之后进行回溯，sum回溯+path回溯

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new ArrayList<>();
    int sum = 0;
    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(k,n,1);
        return result;
    }
    public void backtracking(int k, int n, int startindex){
        // 终止条件
        if(sum == n){
            if(path.size() == k){
                result.add(new ArrayList<>(path));
            }
            return;
        }

        for(int i = startindex; i <= 9; i++){
            path.add(i);
            sum += i;
            backtracking(k,n,i+1);
            sum -= path.get(path.size()-1);  // 回溯
            //sum -= i;  // 回溯 这个方法也行
            path.removeLast(); // 回溯
        }
    }
}

解法： 回溯+剪枝

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new ArrayList<>();
    int sum = 0;
    public List<List<Integer>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(k,n,1);
        return result;
    }
    public void backtracking(int k, int n, int startindex){
        // 终止条件
        if(sum >n) return;  // 剪枝 如果sum已经大于n了，那就return
        if(sum == n){
            if(path.size() == k){
                result.add(new ArrayList<>(path));
            }
            return;
        }

        for(int i = startindex; i <= 9; i++){
            path.add(i);
            sum += i;
            backtracking(k,n,i+1);
            sum -= i;  // 回溯
            path.removeLast(); //回溯
        }
    }
}