1 最小代价多边形三角剖分算法

凸多边形的三角剖分是通过在非相邻顶点（角点）之间绘制对角线来形成的，这样对角线就不会相交。问题是如何以最小的代价找到三角剖分的代价。三角剖分的代价是其组成三角形的权重之和。每个三角形的重量是其周长（所有边的长度之和）

请参阅以下来源的示例。

多项式三角

同一凸五边形的两个三角剖分。左侧的三角测量的成本为8+2√2+2√5（约15.30），右侧的成本为4+2√2 + 4√5（约15.77）。

建议：在继续解决方案之前，请先在{IDE}上尝试您的方法。

该问题具有递归子结构。其思想是将多边形分为三部分：单个三角形、左侧的子多边形和右侧的子多边形。我们尝试所有可能的分割，像这样，找到一个最小化三角形成本加上两个子多边形三角剖分成本的分割。

设顶点从i到j的三角剖分的最小代价为最小代价（i，j）

如果j<=i+2，则

最小成本（i，j）=0

其他的

最小成本（i，j）=最小{最小成本（i，k）+最小成本（k，j）+成本（i，k，j）}

这里k从“i+1”到“j-1”变化

由边（i，j）、（j，k）和（k，i）形成的三角形的成本为

成本（i，j，k）=距离（i，j）+距离（j，k）+距离（k，i）

2 源代码

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;

using Legalsoft.Truffer.TGraph;

namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{
	public static partial class Algorithm_Gallery
	{
		public static double MCPT_Solve(TPoint[] vertices, int i, int j)
		{
			if (j < (i + 2))
			{
				return 0;
			}

			double cost = float.MaxValue;

			for (int k = i + 1; k <= j - 1; k++)
			{
				double weight = vertices[i].Distance(vertices[j]) + vertices[j].Distance(vertices[k]) + vertices[k].Distance(vertices[i]);

				cost = Math.Min(cost, weight + MCPT_Solve(vertices, i, k) + MCPT_Solve(vertices, k, j));
			}

			return cost;
		}

		private static double MCPT_Cost(TPoint[] points, int i, int j, int k)
		{
			TPoint p1 = points[i];
			TPoint p2 = points[j];
			TPoint p3 = points[k];
			return TPoint.Distance(p1, p2) + TPoint.Distance(p2, p3) + TPoint.Distance(p3, p1);
		}

		public static double MCPT_Solve(TPoint[] points, int n)
		{
			if (n < 3)
			{
				return 0;
			}
			double[,] table = new double[n, n];
			for (int gap = 0; gap < n; gap++)
			{
				for (int i = 0, j = gap; j < n; i++, j++)
				{
					if (j < i + 2)
					{
						table[i, j] = 0.0;
					}
					else
					{
						table[i, j] = 1000000.0;
						for (int k = i + 1; k < j; k++)
						{
							double val = table[i, k] + table[k, j] + MCPT_Cost(points, i, j, k);
							if (table[i, j] > val)
							{
								table[i, j] = val;
							}
						}
					}
				}
			}
			return table[0, n - 1];
		}
	}
}

3 源程序

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;

using Legalsoft.Truffer.TGraph;

namespace Legalsoft.Truffer.Algorithm
{
    public static partial class Algorithm_Gallery
    {
        public static double MCPT_Solve(TPoint[] vertices, int i, int j)
        {
            if (j < (i + 2))
            {
                return 0;
            }

            double cost = float.MaxValue;

            for (int k = i + 1; k <= j - 1; k++)
            {
                double weight = vertices[i].Distance(vertices[j]) + vertices[j].Distance(vertices[k]) + vertices[k].Distance(vertices[i]);

                cost = Math.Min(cost, weight + MCPT_Solve(vertices, i, k) + MCPT_Solve(vertices, k, j));
            }

            return cost;
        }

        private static double MCPT_Cost(TPoint[] points, int i, int j, int k)
        {
            TPoint p1 = points[i];
            TPoint p2 = points[j];
            TPoint p3 = points[k];
            return TPoint.Distance(p1, p2) + TPoint.Distance(p2, p3) + TPoint.Distance(p3, p1);
        }

        public static double MCPT_Solve(TPoint[] points, int n)
        {
            if (n < 3)
            {
                return 0;
            }
            double[,] table = new double[n, n];
            for (int gap = 0; gap < n; gap++)
            {
                for (int i = 0, j = gap; j < n; i++, j++)
                {
                    if (j < i + 2)
                    {
                        table[i, j] = 0.0;
                    }
                    else
                    {
                        table[i, j] = 1000000.0;
                        for (int k = i + 1; k < j; k++)
                        {
                            double val = table[i, k] + table[k, j] + MCPT_Cost(points, i, j, k);
                            if (table[i, j] > val)
                            {
                                table[i, j] = val;
                            }
                        }
                    }
                }
            }
            return table[0, n - 1];
        }
    }
}