一、一阶线性微分方程

两种形式：

非齐次：        

齐次：           

推导过程

推导公式的过程一般由特殊到一般：所以先求解齐次方程的解

 （然后对等式两边同时积分）

再来求非齐次方程的解，由齐次解中的常数c联想非齐次方程中的Q(x)

c如果是关于x的方程，那么由这个解就能推出非齐次方程的形式

那么直接有推断的式子;        

由于这个式子同时出现了C(x)与p(x)的乘积，为了能结合原方程式（含有p(x)y 且不含C(x)p(x)），所以将(1)式左右同乘p(x)，并与(2)相加

 （将e移到右边再同时积分）

 （再将这个C(x）代入解的式子中）

（最终解）

例题

•  p(x) 是谁
•  Q(x) 是谁
• 公式用哪个

         （两边求倒数，可以解出y关于x的解）

二、伯努利方程

1. 如果α=0，则是一阶非齐次的形式
2. 如果α=1，则是一阶齐次的形式
3. 故这里仅考虑α≠0,1的情况

推导过程

 （将右边y项除到左边）

注意到1-α刚好比-α高一次，如果换元可以大大简化式子（令 z = y^(1-α) ）

这时候直接看作z与x的一阶线性微分方程求解，最后根据z与y的关系回代即可得到最终解

1. 将y的次方移项
2. 换元
3. 看作新未知数的一阶方程求解
4. 根据关系回代得到结果

例题

       

 （两边求倒数后选择将一个看作未知数，根据满足伯努利公式形式的方程的解）

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三、常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性方程

解法

1. 写特征方程（改写为 ）
2. 根据 △ 大于0（小于0、等于0）三种情况，代入三种根的解（r1、r2为特征方程的两个根）
   1.  时 直接根据中学的求根公式得到根
   2. 

        

        

        

例题

求微分方程通解        

1. 写特征方程 
2. 改写方程形式得到 
3. 这时可以看到是有r1=r2=0（二重实根），计算得到r3，r4为单复根
4. 结果 

暂时没复习到线代部分，我看网课对这里的单复的理解就是，这个解如果有和它相等的，那这个就是复根，有多少个相同的就是多少重复根，这也能讲得通为什么 △＞0时表现出来的是两个单实根，而等于0时表现出来的是2重复根

四、常系数非齐次线性微分方程

这部分的教材资料可以参考下面这篇博客http://t.csdnimg.cn/Z9prHhttp://t.csdnimg.cn/Z9prH