算法43：动态规划专练（最长回文子串力扣5题）---范围模型

之前写过一篇最长回文子序列的博客算法27：最长回文子序列长度（力扣516题）——样本模型 + 范围模型-CSDN博客

在那一篇博客中，回文是可以删除某些字符串组成的。比如：

字符串为：a1b3c4fdcdba，那么最长回文子序列就是 abccba。长度为6。

本题为力扣第5题：最长回文子串

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

如果字符串的反序与原始字符串相同，则该字符串称为回文字符串。

示例 1：

输入：s = "babad"
输出："bab"
解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出："bb"

解释一下，如果字符串为 abc121dmcba. 那么最长回文子序列为 abc121cba. 而最长回文子串则为：121. 子串必须是连续的。

一眼看上去就是范围模型。而范围模型就是要讨论样本数据的开头和结尾的情况：

1. 如果字符串为空，那么回文为空字符

2. 如果字符长度为1，回文子串就为字符串本身

3. 如果字符串长度2，则字符串下标0和1的字符进行比较，相等则为字符串本身；不等的话，返回其中一个字符即可。这是我在提交代码的时候，力扣提示错误的时候发现的。

为什么要单独讨论长度为 1 和 2 的情况？

因为, 范围模型讨论数据的开头和结尾。如果原始字符串长度为2，则直接走上方的3逻辑；可如果一个很长的字符串，经过不断的递归以后，最终长度为2的时候，这就比较麻烦了。

比如 *******ab****的时候，你就不能随意返回一个字符作为回文了。

如果你返回a, 那么字符串为mnfabbbbbbbbb. 那你肯定是错误的

如果你返回b，那么字符串为mnfaaaaaaaaabb，那你肯定也是错的。

回文，就是整体与子串的关系

其实，最长回文子串，最难的就是连续子串的判断。

0	1	2	3	4	5
a	c	d	d	c	k

字符串为 acddck, 下标1和下标4相等，都为c. 如果下标从1到4 是回文。那么他的子串

下标2到3也必须是回文才行。这才是判断的核心点。而下方的推导表格，完全符合。

比如这个字符串为abdddfm。那么二维表格为：

我用x代表空字符串

	a (0)	b (1)	d (2)	d (3)	d (4)	f (5)	m (6)
a (0)	a	X
b (1)		b	X
d (2)			d	dd
d (3)				d	dd
d (4)					d	X
f (5)						f	X
m (6)							m

由下往上，由左往右推算：

我用x代表空字符串

	a (0)	b (1)	d (2)	d (3)	d (4)	f (5)	m (6)
a (0)	a	X	d	类推	类推	类推	类推
b (1)		b	X		类推	类推	类推
d (2)			d	dd	前dd, 左下d，下为dd 当前下标与下标2的字符相等。下标 2到4的子串为 3到3。而3行3列是回文并且回文为d。那么 d + d + d = ddd	类推	类推
d (3)				d	dd	前dd, 左下d，下为空字符 f不等于下标3的d。取最长的 dd	类推
d (4)					d	X	X
f (5)						f	X
m (6)							m

最终的二维表就是

	a (0)	b (1)	d (2)	d (3)	d (4)	f (5)	m (6)
a (0)	a	X	b	dd	ddd	ddd	ddd
b (1)		b	X	dd	ddd	ddd	ddd
d (2)			d	dd	ddd	ddd	ddd
d (3)				d	dd	dd	dd
d (4)					d	X	X
f (5)						f	X
m (6)							m

直观的看，最长回文字符就是 ddd.

下面贴出递归代码：

package code04.动态规划专项训练03;

/**
 * 力扣 5 题 ： 最长回文子串
 * https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/description/?envType=study-plan-v2&envId=dynamic-programming
 */
public class LongestPalindrome_01 {

    public String longestPalindrome(String s) {

        if (s == null || s.isEmpty()) {
            return "";
        }

        if (s.length() == 1) {
            return s;
        }

        if (s.length() ==  2) {
            return s.charAt(0) == s.charAt(1) ? s : String.valueOf(s.charAt(0));
        }
        char[] ss = s.toCharArray();
        return help(ss, 0, ss.length -1);
    }

    //样本对应模型: 就是从后往前讨论样本数据的末尾下标无限可能。此处的末尾下标应该为0；
    public String help(char[] ss, int index1,  int index2)
    {
        //只有一个字符
        if (index1 == index2) {
            return  String.valueOf(ss[index1]);
        }

        //两个字符
        if (index1 == index2 - 1) {
            String temp = "";
            if (ss[index1] == ss[index2]) {
                temp = String.valueOf(ss[index1]) + String.valueOf(ss[index2]);
            }
            return temp;
        }

        //index2不作为结尾，index作为开头
        String p1 = help(ss, index1, index2 - 1);
        //index2作为结尾，index1不作为开头
        String p2 = help(ss, index1 + 1, index2);
        //index2不作为结尾，index1 不作为开头
        String p3 = help(ss, index1 + 1, index2 - 1);
        //index2作为结尾， index1 作为开头
        String p4 = ss[index1] == ss[index2] ? help(ss, index1 + 1, index2 - 1) : "";
        if (!"".equals(p4) && (index2 - index1 - 1) == p4.length()) {
            p4 =  String.valueOf(ss[index1]) + p4 + String.valueOf(ss[index2]);
        }

        String result =  p1.length() > p2.length() ? p1 : p2;
        result = result.length() > p3.length() ? result : p3;
        result = result.length() > p4.length() ? result : p4;

        return result;
    }

    public static void main(String[] args) {

        //String s= "bab";
        //String s= "babad";
        //String s = "ac";
        //String s= "cbbd";
        //String s= "abdka";
        String s= "aacabdkacaa";
        LongestPalindrome_01 ss = new LongestPalindrome_01();
        System.out.println(ss.longestPalindrome(s));
    }
}

动态规划：

package code04.动态规划专项训练03;

/**
 * 力扣 5 题 ： 最长回文子串
 * https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/description/?envType=study-plan-v2&envId=dynamic-programming
 */
public class LongestPalindrome_01_opt {

    public String longestPalindrome(String s) {

        if (s == null || s.isEmpty()) {
            return "";
        }

        if (s.length() == 1) {
            return s;
        }

        if (s.length() == 2) {
            return s.charAt(0) == s.charAt(1) ? s : s.substring(0,1);
        }

        char[] ss = s.toCharArray();

        int size = ss.length;
        //二维动态规划表，列数多构建1
        String[][] dp = new String[size][size];
        //构建dp的斜线
        for (int i = 0; i < s.length() - 1; i++) {
            //只构建斜线上方部分. 由递归的if (index1 == index2) 得到
            dp[i][i] = String.valueOf(ss[i]);
            //由递归的if (index1 == index2 - 1)得到。递归中还特出判断了length == 2 即原始数组长度为2的
            //情况。但是，动态规划中原始数组长度为2在上方代码已经判断过了。因此，此处只需要关注通用逻辑即可
            dp[i][i+1] =  ss[i] == ss[i + 1] ? String.valueOf(ss[i]) + String.valueOf(ss[i+1]) : "";
        }
        //最后一行最后一列比较特殊，会出现数组越界，因此单独构造
        dp[size - 1][size - 1] = String.valueOf(ss[size - 1]);

        //行，从倒数第3行开始，由下放上推； 因为倒数第1、2行上方代码已经推算出来了
        for (int index1 = size - 3; index1 >= 0; index1--) {
            //列，由左往右推。 这个地方的 index2 = index1 + 2需要看图理解
            for (int index2 = index1 + 2; index2 < size; index2++) {

                //index2不作为结尾，index作为开头
                String p1 = dp[index1][index2 - 1];
                //index2作为结尾，index1不作为开头
                String p2 = dp[index1 + 1][index2];
                //index2不作为结尾，index1 不作为开头
                String p3 = dp[index1 + 1][index2 - 1] != null ? dp[index1 + 1][index2 - 1] : "";

                //index2作为结尾， index1 作为开头
                String p4 = ss[index1] == ss[index2] ? dp[index1 + 1][index2 - 1] : "";
                //特殊处理一下p4为null的情况
                p4 = p4 == null ? "" : p4;
                if (!"".equals(p4) && (index2 - index1 - 1) == p4.length()) {
                    p4 =  String.valueOf(ss[index1]) + p4 + String.valueOf(ss[index2]);
                }

                String result =  p1.length() > p2.length() ? p1 : p2;
                result = result.length() > p3.length() ? result : p3;
                result = result.length() > p4.length() ? result : p4;

                dp[index1][index2] = result;
            }
        }
        return dp[0][size -1];
    }



    public static void main(String[] args) {

        //String s= "bab";
        //String s= "babad";
        //String s = "ac";
        //String s= "cbbd";
        //String s= "abdka";
        String s= "aacabdkacaa";
        //String s= "abbcccbbbcaaccbababcbcabca";
        LongestPalindrome_01_opt ss = new LongestPalindrome_01_opt();
        System.out.println(ss.longestPalindrome(s));
    }
}

测试结果：

测试结果很不理想。速度慢，而且还吃内存，吃内存的主要原因就是动态规划的二维表是字符串类型的。

看了看力扣官方的思想，确实相当不错。下面直接说一下官方的解题思路。

1. 官方并不存储字符串，而是存一个flag，标记回文范围.

	a (0)	b (1)	d (2)	d (3)	d (4)	f (5)	m (6)
a (0)	true	false
b (1)		true	false
d (2)			true	true
d (3)				true	true
d (4)					true	false
f (5)						true	false
m (6)							true

力扣官方定义了一个最长回文子串的开始位置，beginIndex，长度length

从倒数第3行开始，依旧是由下往上，由左往右推算

	a (0)	b (1)	d (2)	d (3)	d (4)	f (5)	m (6)
a (0)	true	false	false	false	false	false	false
b (1)		true	false	false	false	false	false
d (2)			true	true	d == d，并且子串 3行3列也是回文整体是回文。开始位置为2，长度为3	false	false
d (3)				true	true	d != f false	m != d false
d (4)					true	false	d ！= m false
f (5)						true	false
m (6)							true

最后，就是根据上方的推算结果进行字符串截图。知道了开始位置，截取字符的长度，问题自然就解决了。

代码如下：

package code04.动态规划专项训练03;

/**
 * 力扣 5 题 ： 最长回文子串
 * https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring/description/?envType=study-plan-v2&envId=dynamic-programming
 */
public class LongestPalindrome_01_opt2_1 {

    public String longestPalindrome(String s) {

        if (s == null || s.isEmpty()) {
            return "";
        }

        if (s.length() == 1) {
            return s;
        }

        if (s.length() == 2) {
            return s.charAt(0) == s.charAt(1) ? s : s.substring(0,1);
        }

        char[] ss = s.toCharArray();
        int size = ss.length;


        //默认开始下标为最后一行的最后一列
        int beginIndex = size -1;
        //默认回文长度为1
        int length = 1;

        //二维动态规划表，列数多构建1
        boolean[][] dp = new boolean[size][size];
        //构建dp的斜线
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            //只构建斜线上方部分. 由递归的if (index1 == index2) 得到
            dp[i][i] = true;
        }

        //行，从倒数第2行开始，由下放上推； 因为倒数第1行上方代码已经推算出来了
        for (int index1 = size - 2; index1 >= 0; index1--) {
            //列，由左往右推。 当前行的剩余列
            for (int index2 = index1 + 1; index2 < size; index2++) {

                //长度为2. 开头、结尾相等就是回文
                if (index1 == index2 - 1) {
                    //开头、结尾相等。那么 [index1, index2] 就是回文
                    dp[index1][index2] =  ss[index1] == ss[index2] ? true : false;
                }
                else {
                    dp[index1][index2] =  ss[index1] == ss[index2] ? dp[index1 + 1][index2 -1] : false;
                }
                // [index1, index2] 的个数就是 index2 - index1 + 1；
                if( dp[index1][index2] && index2 - index1 + 1 > length) {
                    beginIndex = index1;
                    length = index2 - index1 + 1;
                }
            }
        }

        return s.substring(beginIndex, beginIndex + length);
    }



    public static void main(String[] args) {


        //String s= "bab";
         //String s= "babad";
        //String s = "ac";
         String s= "cbbd";
        //String s= "abdka";
         //String s= "aacabdkacaa";

        //String s= "abbcccbbbcaaccbababcbcabca";
        LongestPalindrome_01_opt2_1 ss = new LongestPalindrome_01_opt2_1();
        System.out.println(ss.longestPalindrome(s));
    }
}