IEEE754标准的c语言阐述，以及几个浮点数常量

news2024/11/14 16:16:55

很多年前，调研过浮点数与整数之间的双射问题：
win7 intel x64 cpu vs2013 c语言浮点数精度失真问题

最近重新学习了一下IEEE754标准，也许实际还有很多深刻问题没有被揭示。
计算机程序设计艺术，据说这本书中也有讨论。

参考：https://upimg.baike.so.com/doc/643382-681042.html
在这里插入图片描述
float32在线测试页面 ：https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html
在这里插入图片描述
我用手写计算的方式，算过一遍之后，得到一个结论：
任意数值的32bit，对应的float，都可以被精确地计算，转换为一个无误差对应的字符串，且与printf %.Nf一致，只要N足够大。
eg:float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, 0.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706828388979108268586060148663818836212158203125 (149位小数)
所有其他float都是FLT_TRUE_MIN这个数的整数倍。
稍微计算几个值就明白为什么。fraction中第一个1代表0.5，第二个1是0.25，然后是0.125,0.0625,0.03125 …尾数一直可以被2整除。题外话，如果是前苏联的3进制计算机，可能就存在无限循环除不尽的问题。

但是，前面提过，float与u32的双射问题。
显然32bit最多只有4,294,967,295个值。
u32只有10位十进制数，与149位十进制小数到FLT_MAX(340282346638528859811704183484516925440.000000)是无法一一对应的。
那么中间，绝大多数的浮点数数值都没有32bit的对应值，也就是说，人工随便写的一个浮点数字符串，有99%以上的概率转换为float之后，再转换为string，是无法还原的！
但是，c基础库的printf %f和atof有一种不失真、可逆的转换实现！只是这种实现是从32bit到float string，再还原到32bit。
人为造假float值比较容易被识别，只要是不可逆的就一定是人为改过的！

个人觉得IEEE754标准的设计，c语言的实现，并不是看起来那么简单。
稍微提几个方面：硬件电路、编译器、累计误差…这些方面的坑感觉都很深。

下面是个人测试float的代码及测试结果：

#include <stdio.h>
#include <float.h>
#include <math.h>
union u32f32 {
	unsigned int u32;
	float f32;
	struct {
		unsigned int fraction : 23;
		unsigned int exp : 8;
		unsigned int sign : 1;
	};
};
static char c_u32[64] = { 0 };
static char c_sign[64] = { 0 };
static char c_exp[64] = { 0 };
static char c_fraction[64] = { 0 };
void to_binary_string_with_spaces(const unsigned int u32, const int bits, char c_temp[64]) {
	int valid_bits = bits <= 32 ? bits : 32;
	int char_index = 0;
	for (int i = valid_bits - 1; i >= 0; i--) {
		if (i % 4 == 3 && i != valid_bits - 1) {
			c_temp[char_index++] = ' ';
		}
		c_temp[char_index++] = (u32 & (1U << i)) ? '1' : '0';
	}
	c_temp[char_index] = '\0';
}
void print_float_binary(const char* p_name, const unsigned int i) {
	const union u32f32 u32_f32_obj = { .u32 = i };
	to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.u32, 32, c_u32);
	to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.sign, 1, c_sign);
	to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.exp, 8, c_exp);
	to_binary_string_with_spaces(u32_f32_obj.fraction, 23, c_fraction);
	printf("float %s == 0x%08x, binary(%s)\n", p_name, u32_f32_obj.u32, c_u32);
	printf("float %s == 0x%08x, sign(%s)*(-1) 2^exp(%s-127) fraction(1.%s)\n",
		p_name, u32_f32_obj.u32, c_sign, c_exp, c_fraction);
}
int test_float() {
	union u32f32 u32_f32_max_obj = { .f32 = FLT_MAX };//3.402823466e+38F
	union u32f32 u32_f32_epsilon_obj = { .f32 = FLT_EPSILON };//1.192092896e-07F
	union u32f32 u32_f32_min_obj = { .f32 = FLT_MIN };//1.175494351e-38F
	union u32f32 u32_f32_true_min_obj = { .f32 = FLT_TRUE_MIN };//1.401298464e-45F
	union u32f32 u32_f32_NaN_obj = { .f32 = NAN };//nan
	union u32f32 u32_f32_inf_obj = { .f32 = INFINITY };
	union u32f32 u32_f32_ne_inf_obj = { .f32 = -INFINITY };
	union u32f32 u32_f32_0_obj = { .f32 = 0 };
	union u32f32 u32_f32_ne_0_obj = { .f32 = 0,.sign = 1 };
	printf("float FLT_MAX      == 0x%08x, %f\n", u32_f32_max_obj.u32, u32_f32_max_obj.f32);
	printf("float FLT_EPSILON  == 0x%08x, %.23f\n", u32_f32_epsilon_obj.u32, u32_f32_epsilon_obj.f32);
	printf("float FLT_MIN      == 0x%08x, %.126f\n", u32_f32_min_obj.u32, u32_f32_min_obj.f32);
	printf("float FLT_TRUE_MIN == 0x%08x, %.149f\n", u32_f32_true_min_obj.u32, u32_f32_true_min_obj.f32);
	printf("float NaN          == 0x%08x, %f\n", u32_f32_NaN_obj.u32, u32_f32_NaN_obj.f32);
	printf("float INFINITY     == 0x%08x, %f\n", u32_f32_inf_obj.u32, u32_f32_inf_obj.f32);
	printf("float -INFINITY    == 0x%08x, %f\n", u32_f32_ne_inf_obj.u32, u32_f32_ne_inf_obj.f32);
	printf("float +0           == 0x%08x, %f\n", u32_f32_0_obj.u32, u32_f32_0_obj.f32);
	printf("float -0           == 0x%08x, %f\n", u32_f32_ne_0_obj.u32, u32_f32_ne_0_obj.f32);
	//
	print_float_binary("FLT_MAX     ", u32_f32_max_obj.u32);
	print_float_binary("FLT_EPSILON ", u32_f32_epsilon_obj.u32);
	print_float_binary("FLT_MIN     ", u32_f32_min_obj.u32);
	print_float_binary("FLT_TRUE_MIN", u32_f32_true_min_obj.u32);
	print_float_binary("NaN         ", u32_f32_NaN_obj.u32);
	print_float_binary("INFINITY    ", u32_f32_inf_obj.u32);
	print_float_binary("-INFINITY   ", u32_f32_ne_inf_obj.u32);
	print_float_binary("zero(+0)    ", u32_f32_0_obj.u32);
	print_float_binary("zero(-0)    ", u32_f32_ne_0_obj.u32);
	//
	union u32f32 u32_f32_obj = { .u32 = 0xBCD3D6D8 };//0xBCD3D6D8 == -0.02585928142070770263671875
	printf("float obj_test     == 0x%08x, %.60f\n", u32_f32_obj.u32, u32_f32_obj.f32);
	print_float_binary("obj_test    ", u32_f32_obj.u32);
	//
	printf("float obj_test     == 0x%08x, sign(%s1) 2^exp(%d) fraction(%.30f)\n", u32_f32_obj.u32,
		u32_f32_obj.sign ? "-" : "+",
		((int)u32_f32_obj.exp) - 127,
		1.0 * u32_f32_obj.fraction / (1 << 23) + 1);
	printf("float obj_test     == 0x%08x, sign(%d) exp(%f) fraction(%.30f)\n", u32_f32_obj.u32,
		(-1) * (int)u32_f32_obj.sign,
		(pow(2, ((int)u32_f32_obj.exp) - 127)),
		(1.0 * u32_f32_obj.fraction / (1 << 23) + 1));
	printf("float obj_test     == 0x%08x, %.30f\n", u32_f32_obj.u32,
		(-1) * (int)u32_f32_obj.sign *
		(pow(2, ((int)u32_f32_obj.exp) - 127)) *
		(1.0 * u32_f32_obj.fraction / (1 << 23) + 1));
	return 0;
}

int main(int argc, char** argv) {
	return test_float();
}

float FLT_MAX      == 0x7f7fffff, 340282346638528859811704183484516925440.000000
float FLT_EPSILON  == 0x34000000, 0.00000011920928955078125
float FLT_MIN      == 0x00800000, 0.000000000000000000000000000000000000011754943508222875079687365372222456778186655567720875215087517062784172594547271728515625
float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, 0.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706828388979108268586060148663818836212158203125
float NaN          == 0x7fc00000, nan
float INFINITY     == 0x7f800000, inf
float -INFINITY    == 0xff800000, -inf
float +0           == 0x00000000, 0.000000
float -0           == 0x80000000, -0.000000
float FLT_MAX      == 0x7f7fffff, binary(0111 1111 0111 1111 1111 1111 1111 1111)
float FLT_MAX      == 0x7f7fffff, sign(0)*(-1) 2^exp(1111 1110-127) fraction(1.111 1111 1111 1111 1111 1111)
float FLT_EPSILON  == 0x34000000, binary(0011 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_EPSILON  == 0x34000000, sign(0)*(-1) 2^exp(0110 1000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_MIN      == 0x00800000, binary(0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_MIN      == 0x00800000, sign(0)*(-1) 2^exp(0000 0001-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, binary(0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001)
float FLT_TRUE_MIN == 0x00000001, sign(0)*(-1) 2^exp(0000 0000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0001)
float NaN          == 0x7fc00000, binary(0111 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000)
float NaN          == 0x7fc00000, sign(0)*(-1) 2^exp(1111 1111-127) fraction(1.100 0000 0000 0000 0000 0000)
float INFINITY     == 0x7f800000, binary(0111 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000)
float INFINITY     == 0x7f800000, sign(0)*(-1) 2^exp(1111 1111-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float -INFINITY    == 0xff800000, binary(1111 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000)
float -INFINITY    == 0xff800000, sign(1)*(-1) 2^exp(1111 1111-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(+0)     == 0x00000000, binary(0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(+0)     == 0x00000000, sign(0)*(-1) 2^exp(0000 0000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(-0)     == 0x80000000, binary(1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000)
float zero(-0)     == 0x80000000, sign(1)*(-1) 2^exp(0000 0000-127) fraction(1.000 0000 0000 0000 0000 0000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, -0.025859281420707702636718750000000000000000000000000000000000
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, binary(1011 1100 1101 0011 1101 0110 1101 1000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, sign(1)*(-1) 2^exp(0111 1001-127) fraction(1.101 0011 1101 0110 1101 1000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, sign(-1) 2^exp(-6) fraction(1.654994010925292968750000000000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, sign(-1) exp(0.015625) fraction(1.654994010925292968750000000000)
float obj_test     == 0xbcd3d6d8, -0.025859281420707702636718750000

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