单选题（每题 2 分，共 30 分）

1、定义变量 double x ，如果下面代码输入为 100 ，输出最接近( )。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
	double x;
	cin >> x;
	cout << log10(x) - log2(x) << endl;
	cout << endl;
	return 0;
} 

A. 0
B. -5
C. -8
D. 8

2、对于下面动态规划方法实现的函数，以下选项中最适合表达其状态转移函数的为( )。

int s[MAX_N], f[MAX_N][MAX_N];
int stone_merge(int n, int a[]){
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			if (i == j)
				f[i][j] = 0;
			else
				f[i][j] = MAX_F;
	for (int l = 1; l < n; l++)
		for (int i = 1; i <= n - 1; i++){
			int j = i + l;
			for (int k = i; k < j; k++)
				f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
		} 
	return f[1][n];
}

3、下面代码可以用来求最长上升子序列（LIS）的长度，如果输入是： 5 1 7 3 5 9 ，则输出是( )。

int a[2023], f[2023];
int main(){
	int n, i, j, ans = -1;
	cin >> n;
	for (i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
		f[i] = 1; 
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)
		for (j = 1; j < i; j++)
			if (a[j] < a[i])
				f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
	for (i = 1; i <= n; i++){
		ans = max(ans, f[i]);
		cout << f[i] << " ";
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
} 

A. 9 7 5 1 1 9
B. 1 2 2 3 4 4
C. 1 3 5 7 9 9
D. 1 1 1 1 1 1

4、C++语言中，下列关于关键字 static 的描述不正确的是( )。

A. 可以修饰类的成员函数。
B. 常量静态成员可以在类外进行初始化。
C. 若 a 是类 A 常量静态成员，则 a 的地址都可以访问且唯一。
D. 静态全局对象一定在 main 函数调用前完成初始化，执行完 main 函数后被析构。

5、G 是一个非连通无向图，共有 28 条边，则该图至少有( )个顶点。

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

6、哈希表长31，按照下面的程序依次输入 4 17 28 30 4 ，则最后的 4 存入哪个位置？（ ）

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 31;
int htab[N], flag[N];
int main(){
	int n, x, i, j, k;
	cin >> n;
	for (i = 0; i < n; i++){
		cin >> x;
		k = x % 13;
		while (flag[k]) k = (k + 1) % 13;
		htab[k] = x;
		flag[k] = 1; 
	}
	for (i = 0; i < N; i++)
		cout << htab[i] << " ";
	cout << endl;
	return 0;
} 

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

7、某二叉树T的先序遍历序列为： {A B D F C E G H} ，中序遍历序列为： {B F D A G E H C} ，则下列说法中正确的是( )。

A. T的度为1
B. T的高为4
C. T有4个叶节点
D. 以上说法都不对

8、下面代码段可以求两个字符串 s1 和 s2 的最长公共子串（LCS），下列相关描述不正确的是（ ）。

while (cin >> s1 >> s2){
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	int n1 = strlen(s1), n2 = strlen(s2);
	for (int i = 1; i <= n1; ++i)
		for (int j = 1; j <= n2; ++j)
			if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
				dp[i][j] = sp[i - 1][j - 1] + 1;
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
	cout << dp[n1][n2] << endl; 
}

A. 代码的时间复杂度为O(n^2)
B. 代码的空间复杂度为O(n^2)
C. 空间复杂度已经最优
D. 采用了动态规划求解

9、图的广度优先搜索中既要维护一个标志数组标志已访问的图的结点，还需哪种结构存放结点以实现遍历？( )

A. 双向栈
B. 队列
C. 哈希表
D. 堆

10、对关键字序列 {44，36，23，35，52，73，90，58} 建立哈希表，哈希函数为 h(k)=k%7 ，执行下面的Insert 函数，则等概率情况下的平均成功查找长度（即查找成功时的关键字比较次数的均值）为( )。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

typedef struct Node{
	int data;
	struct Node *next;
}Node;
Node* hTab[7];
int key[] = {44, 36, 23, 35, 52, 73, 90, 58, 0};
void Insert(){
	int i, j;
	Node *x;
	for (i = 0; key[i]; i++){
		j = key[i] % 7;
		x = new Node;
		x->data = key[i];
		x->next = hTab[j];
		hTab[j] = x;
	}
	return;
}

A. 7/8
B. 1
C. 1.5
D. 2

11、学生在读期间所上的某些课程中需要先上其他的课程，所有课程和课程间的先修关系构成一个有向图 G ，有向边 <U, V> 表示课程 U 是课程 V 的先修课，则要找到某门课程 C 的全部先修课下面哪种方法不可行？( )

A. BFS搜索
B. DFS搜索
C. DFS+BFS
D. 动态规划

12、一棵完全二叉树有 2023 个结点，则叶结点有多少个？( )

A. 1024
B. 1013
C. 1012
D. 1011

13、用下面的邻接表结构保存一个有向图 G ， InfoType 和 VertexType 是定义好的类。设 G 有 n 个顶点、e 条弧，则求图 G 中某个顶点 u （其顶点序号为 k ）的度的算法复杂度是( )。

typedef struct ArcNode{
	int            adjvex;    // 该弧所指向的顶点的位置 
	struct ArcNode *nextarc;  // 指向下一条弧的指针 
	InfoType       *info;     // 该弧相关信息的指针 
}ArcNode;
typedef struct VNode{
	VertexType  data;    // 顶点信息 
	ArcNode *firstarc;  // 指向第一条依附该顶点的弧 
}VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct{
	AdjList vertices;
	int vexnum, arcnum;
	int kind;    // 图的种类标志 
};

A. O(n)
B. O(e)
C. O(n + e)
D. O(n + 2 * e)

14、给定一个简单有向图 G ，判断其中是否存在环路的下列说法哪个最准确？( )

A. BFS更快
B. DFS更快
C. BFS和DFS一样快
D. 不确定

15、从顶点 v1 开始遍历下图 G 得到顶点访问序列，在下面所给的 4 个序列中符合广度优先的序列有几个？( )
{v1 v2 v3 v4 v5} ， {v1 v2 v4 v3 v5} ， {v1 v4 v2 v3 v5} ， {v1 v2 v4 v5 v3}

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

判断题（每题 2 分，共 20 分）

1、小杨这学期准备参加GESP的7级考试，其中有关于三角函数的内容，他能够通过下面的代码找到结束循环的角度值。( )

int main(){
	double x;
	do{
		cin >> x;
		x = x / 180 * 3.14;
	}while (int(sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x)) == 1);
	cout << "//" << sin(x) << " " << cos(x);
	cout << endl;
	return 0;
} 

2、小杨在开发画笔刷小程序（applet），操作之一是选中黄颜色，然后在下面的左图的中间区域双击后，就变成了右图。这个操作可以用图的泛洪算法来实现。( )

3、 假设一棵完全二叉树共有 N 个节点，则树的深度为log(N) + 1 。( )

4、给定一个数字序列 A1，A2，A3，…，An ，要求 i 和 j （ 1<=i<=j<=n )，使 Ai+…+Aj 最大，可以使用动态规划方法来求解。( )

5、若变量 x 为 double 类型正数，则 log(exp(x)) > log10(x) 。( )

6、简单有向图有 n 个顶点和 e 条弧，可以用邻接矩阵或邻接表来存储，二者求节点 u 的度的时间复杂度一样。( )

7、某个哈希表键值 x 为整数，为其定义哈希函数 H(x)=x%p ，则 p 选择素数时不会产生冲突。( )

8、动态规划只要推导出状态转移方程，就可以写出递归程序来求出最优解。( )

9、广度优先搜索（BFS）能够判断图是否连通。( )

10、在C++中，如果定义了构造函数，则创建对象时先执行完缺省的构造函数，再执行这个定义的构造函数。()

编程题 (每题 25 分，共 50 分)

商品交易

【问题描述】
市场上共有 N 种商品，编号从 0 至 N - 1 ，其中，第 i 种商品价值 vi 元。
现在共有 M个商人，编号从0 至M - 1 。在第j 个商人这，你可以使用第xj 种商品交换第yj 种商品。每个商人都会按照商品价值进行交易，具体来说，如果vxj > vyj ，他将会付给你vyj - vxj 元钱；否则，那么你需要付给商人vxj > vy元钱。除此之外，每次交易商人还会收取1 元作为手续费，不论交易商品的价值孰高孰低。
你现在拥有商品a ，并希望通过一些交换来获得商品b 。请问你至少要花费多少钱？（当然，这个最小花费也可能是负数，这表示你可以在完成目标的同时赚取一些钱。）
【输入描述】
第一行四个整数N, M, a, b ，分别表示商品的数量、商人的数量、你持有的商品以及你希望获得的商品。保证0 <= a, b < N，保证a != b 。
第二行 N 个用单个空格隔开的正整数v0, v1,…,vN-1 ，依次表示每种商品的价值。保证1 <= vi <= $10^9$ 。
接下来M 行，每行两个整数xj, yj ，表示第j 个商人愿意使用第xj 种商品交换第yj 种商品。保证0 <= xj,yj < N ，保证xj != yj 。
【输出描述】
输出一行一个整数，表示最少的花费。特别地，如果无法通过交换换取商品b ，请输出 No solution
【特别提醒】
在常规程序中，输入、输出时提供提示是好习惯。但在本场考试中，由于系统限定，请不要在输入、输出中附带任何提示信息。
【样例输入 1】
3 5 0 2
1 2 4
1 0
2 0
0 1
2 1
1 2
【样例输出 1】
5
【样例解释 1】
可以先找2 号商人，花2-1=1 元的差价以及1 元手续费换得商品1 ，再找4 号商人，花4-2=2 元的差价以及1元手续费换得商品2 。总计花费1+1+2+1=5 元。
【样例输入 2】
3 3 0 2
100 2 4
0 1
1 2
0 2
【样例输出 2】
-95
【样例解释 2】
可以找2 号商人，直接换得商品2 的同时，赚取100-4=96 元差价，再支付1 元手续费，净赚95 元。也可以先找0 号商人换取商品1 ，再找1 号商人换取商品2 ，不过这样只能赚94 元
【样例输入 3】
4 4 3 0
1 2 3 4
1 0
0 1
3 2
2 3
【样例输出 3】
No solution
【数据规模】
对于30%的测试点，保证N <= 10 ，M <= 20 。
对于70%的测试点，保证N <= $10^3$ ，M <= $10^4$ 。
对于100%的测试点，保证N <= $10^5$ ，M <= $10^5$ 。

纸牌游戏

【问题描述】
你和小杨在玩一个纸牌游戏。
你和小杨各有 3 张牌，分别是 0、1、2。你们要进行 N 轮游戏，每轮游戏双方都要出一张牌，并按 1 战胜 0，2 战胜1，0 战胜 2 的规则决出胜负。第i 轮的胜者可以获得2ai 分，败者不得分，如果双方出牌相同，则算平局，二人都可获得ai 分（i=1,2,…,N ）。
玩了一会后，你们觉得这样太过于单调，于是双方给自己制定了不同的新规则。小杨会在整局游戏开始前确定自己全部n 轮的出牌，并将他的全部计划告诉你；而你从第 2 轮开始，要么继续出上一轮出的牌，要么记一次“换牌”。
游戏结束时，你换了t 次牌，就要额外扣 b1+…+bt分。
请计算出你最多能获得多少分。
【输入描述】
第一行一个整数N ，表示游戏轮数。
第二行N 个用单个空格隔开的非负整数a1,…,aN ，意义见题目描述。
第三行N-1 个用单个空格隔开的非负整数b1,…,bN-1 ，表示换牌的罚分，具体含义见题目描述。由于游戏进行N轮，所以你至多可以换 N-1次牌。
第四行N 个用单个空格隔开的整数c1,…,cN ，依次表示小杨从第1 轮至第 N 轮出的牌。保证ci属于(0,1,2) 。
【输出描述】
一行一个整数，表示你最多获得的分数。
【特别提醒】
在常规程序中，输入、输出时提供提示是好习惯。但在本场考试中，由于系统限定，请不要在输入、输出中附带任何提示信息。
【样例输入 1】
4
1 2 10 100
1 100 1
1 1 2 0
【样例输出 1】
219
【样例解释 1】
你可以第 1轮出 0，并在第 2,3轮保持不变，如此输掉第 1,2轮，但在第3 轮中取胜，获得2 * 10 = 20 分；随后，你可以在第4 轮中以扣1 分为代价改出 1，并在第4 轮中取得胜利，获得2 * 100 = 200 分。如此，你可以获得最高20 + 200 - 1 = 219的总分 。
【样例输入 2】
6
3 7 2 8 9 4
1 3 9 27 81
0 1 2 1 2 0
【样例输出 2】
56
【数据规模】
对于30%的测试点，保证N <= 15 。
对于60%的测试点，保证N <= 100 。
对于所有测试点，保证N <= 1,000 ；保证 0 <= ai,bi <= $10^6$。

答案及解析

单选题

1、【答案】B
【解析】log10(x)表示 10 的多少次方是 x，log2(x)表示2 的多少次方是x，这里的 x 是输入的 100，所以，log10(100)=2，又因为 26=64，所以log2(100)是6. 多，两者作差，约为-4.多，选 B。

2、【答案】D
【解析】首先看代码，s 数组是前缀和数组，f 数组是dp 数组，初始化f 数组为正无穷，只有 f[i][i]=0（1<=i<=n）的值为 0，接着进行了区间dp，i 和j 分别是区间 dp 的两个端点，k 是枚举的分界点，k 的取值范围是[i,j)，所以选项C 错误，根据第 15 行转移方程，发现后面的 s[j]-s[i-1]是 a[i]+a[i+1]+…+a[j]的和，且与k无关，可以单独拎出来，所以转移方程为 f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j])+ k=i
j a(k) ，选项 D 正确。选项 A,B 的错误点在于 f(i,j)的初始值为正无穷，所以f(i,j)是不参与转移方程的。

3、【答案】B
【解析】题目已经提示我们这是在求最长上升子序列，f 数组的含义是以i 结尾的最长上升子序列长度，ans 是整个序列的最长上升子序列长度，代码中先依次输出了 f[1],f[2],…,f[n],最后再输出 ans，接着我们可以进行手算，1 7 3 5 9 序列的f 值分别为 1,2,2,3,4,ans=4，所以正确答案为 B。

4、【答案】C
【解析】static 是静态意思，可以修饰成员变量和成员方法，static 修饰成员变量表示该成员变量在内存中只存储一份，可以被共享访问，修改。选项C 中a 的地址都可以访问是不对的，所以本题选 C。

5、【答案】D
【解析】注意到题目里说的是非连通无向图，那么在同样的点数n 下，为了有尽量多的边，可以分为两张连通图，一张 n-1 个点的完全图，另一张只有单独一个点，手算后可以发现，8 个点的完全图有 8*7/2=28 个点，正好满足题目要求，所以总点数为 9 个，选 D。

6、【答案】D
【解析】题目提示我们这是哈希表，根据代码，发现是按照%13 进行哈希并且在发生冲突的情况下， 对应放到下一个位置，我们依次计算17 28 30 4 会放置在什么位置，17 放置在 4,28 放置在 2,30 本来放置在 4，但是发生冲突，最终放置在 5,4 本来放置在 4，但是 4 和 5 都被占用了，所以最终放置在6，选D。

7、【答案】B
【解析】先序遍历是根左右，中序遍历是左根右，首先可以根据先序遍历和中序遍历画出完整的树，如下图：
所以正确答案为 B。

8、【答案】C
【解析】题目告诉我们代码是在求解最长公共子串，代码中使用了双重for 循环，且循环范围为[1_n1]以及[1n2]，所以选项 A 正确，使用了二维数组dp，两维的长度也均为字符串长度，所以选项 B 正确，空间复杂度还可以使用滚动数组进一
步优化为 O(n)，所以选项 C 错误，本题选 C，选项 D 正确，代码中使用的正是动态规划算法。

9、【答案】B
【解析】图的广度优先搜索是从若干点出发，依次向外进行逐层扩展的算法，使用队列存放待遍历节点，本题选 B。

10、【答案】C
【解析】代码采用链地址法来存储哈希，即将所有哈希地址相同的记录都链接在同一链表中，哈希方式为%7，我们依次对每个元素进行判断：44，36，23，35，52，73，90， 58，每个数字的哈希地址分别是 2,1,2,0,3,3,6,2，即哈希值为0~6的元素个数分别有 1,1,3,2,0,0,1，对于之前的 8 个数字，它们查找成功的次数分别是 1,1,2,1,1,2,1,3，总次数为 12 次，平均次数=12/8=1.5 次，答案为C。

11、【答案】D
【解析】查询有向图上有多少个点能够到达该点，可以在反图上进行搜索，所以选项 A,B,C 都可以，正确答案是 D。

12、【答案】C
【解析】设一棵完全二叉树有 k 层，则前 k-1 都是满二叉树，第k 层的节点需要从左往右排列，那么第 1 层有 1 个节点，第 2 层有 2 个节点，第3 层有4个节点。。。第 9 层有 512 个节点，此时总节点个数为 1023，第10 层放置剩余的1000 个节点，那么叶节点个数为第 10 层的 1000 个节点，再加上第9 层除去被第 10 层消耗的 500 个节点外剩余的 12 个节点，总共为1012 个，选C。也可以根据完全二叉树的节点编号性质来计算，即：第 2023 号结点的双亲是最后一个非叶结点，序号是 2023/2=1011，所以叶节点个数为：2023-1011=1012。

13、【答案】B
【解析】代码中使用了邻接表来存储边的信息，查找某个点的度时需要计算出度和入度。出度直接从该点出发，遍历该点出发的边即可。同时查询入度，可以在反图上进行类似操作，总复杂度为 O(e),选 B。也可以遍历整个邻接表，包含点顶点 u 的弧的数目就是该顶点的度。

14、【答案】D
【解析】对于不同的图，BFS 和 DFS 的效率也不一样，有可能DFS更快，也有可能 BFS 更快，所以本题正确答案为 D。

15、【答案】B
【解析】广度优先遍历会首先搜索和 s 距离为 k 的所有顶点，然后再去搜索和s距离为 k+1 的其他顶点，所以第 1 个序列不是广度优先搜索的序列，因为v3和v1 的距离超过了 v4 和 v1 的距离，但是序列中 v3 确排在v4 前面，其余3个序列都是广度优先搜索的序列，本题选 B。

判断题

1、【答案】正确
【解析】正确，代码将输入的角度转换成弧度，虽然对于任意的弧度，数学上均有，但 int（）转换对某些 x 可能出现截断的情况，能够导致循环结束。

2、【答案】正确
【解析】泛洪算法是从某个点出发，向周边相邻的区域进行扩展，和操作的要求是一致的，正确。

3、【答案】错误
【解析】树的深度应该是[log2N+1],直接写 log 会以 e 为底，错误。

4、【答案】正确
【解析】问题为最大子段和，动态规划的经典例题，设f[i]为以i 结尾的子段最大值，则 f[i]=max(a[i],f[i-1]+a[i]);正确。

5、【答案】正确
【解析】式子的左侧 exp(x),是,所以 log(exp(x))就等于 x，等价于询问对于任意大于 0 的正实数 x，是否有 x>log10(x),当 0<x<1 时，log10(x)为负数，必然成立，当x==1 时，log10(x)=0,成立，当 x>1 时，log10(x)的增长远远慢于x 的增长，也成立，所以 x>log10(x)成立，正确。

6、【答案】错误
【解析】错误，邻接矩阵求节点 u 的度时间复杂度为 O(n),而邻接表为O(e)。

7、【答案】错误
【解析】错误，设 p 为 7，则键值 14 和 21 的 hash 值相同，产生了冲突。

8、【答案】错误
【解析】错误，用递归法求解动态规划方程会造成重复计算，可能导致超时。另外，动态规划算法的核心是状态转移方程，但同时也需要定义状态、初始条件和边界条件等。

9、【答案】正确
【解析】正确，BFS 是图论中遍历图的算法，可以从任意一个点出发进行BFS，记录遍历过程中经过的不同点的个数，若不等于总点数，则说明图不连通。

10、【答案】错误
【解析】错误，创建对象时最多只会执行一个构造函数。

编程题1

1、【解题思路】发现不管通过什么方式换，最终因为价值不同而花费的金币数都是固定的，即 v[b]-v[a],a 为持有的商品，b 为希望获得商品，唯一的区别是每次交易都要额外支付 1 块钱，所以需要最小化交易次数，我们把每件商品看作1个点，如果某件商品 x 能够换为某件商品 y，则让 x 和 y 连一条边，我们的目标是从商品 a 出发尽快到达商品 b，即经过的边的数量尽量少，可以通过bfs 求经过
的最少的边数，设这个值为 min_dist[dst]，那么最终答案为min_dist[dst]+v[b]-v[a]。

编程题2

2、【解题思路】考虑使用 dp 算法，设 dp[i][j][k]表示前 i 轮中，第i 轮出的牌为j(0<=j<=2),已经换过 k 次牌的最大得分，这里的a数组是奖励的得分，b数组是换牌的惩罚，c数组是小杨的出牌，result(x,y)表示出牌为 x 时和 y 的胜负情况(胜利返回 2，平局返回1，失败返回0)上面一行表示当前轮出牌和上一轮相同
下面一行表示不同，需要额外付出 b[k]的代价