原理
BP 神经网络，也称为多层感知机（Multilayer Perceptron，MLP），是一种常见的神经网络模型，用于解决各种机器学习问题，包括分类和回归。BP 代表“反向传播”（Backpropagation），这是该模型训练的关键算法。
BP 神经网络由多个神经元组成，通常分为输入层、隐藏层和输出层。每个神经元都与前一层的每个神经元相连，并且具有权重，用于调整信号的传递和计算。BP 神经网络的原理基于前向传播和反向传播两个关键步骤。
前向传播是在前向传播过程中，输入信号从输入层传递到隐藏层和输出层，每个神经元将其输入与权重相乘并应用激活函数来产生输出。这个过程一直持续到达输出层，生成网络的预测结果。输入层到隐藏层公式:
z
j
=
∑
i
=
1
n
w
j
i
(
1
)
x
i
z_j=\sum_{i=1}^{n}w_{ji}^{(1)}x_i
zj=i=1∑nwji(1)xi
α
j
=
f
(
z
j
)
\alpha_j=f(z_j)
αj=f(zj) 输入层到隐藏层公式：
z
k
=
∑
j
=
1
m
w
k
i
(
2
)
α
j
z_k=\sum_{j=1}^{m}w_{ki}^{(2)}\alpha_j
zk=j=1∑mwki(2)αj
α
k
=
f
(
z
k
)
\alpha_k=f(z_k)
αk=f(zk) 其中，
z
j
z_j
zj和
z
k
z_k
zk分别表示隐藏层和输出层神经元的加权输入，
α
j
\alpha_j
αj和
α
k
\alpha_k
αk表示它们的激活输出，𝑤是权重，𝑥是自变量，𝑓是激活函数。
反向传播是在反向传播过程中，网络的输出与实际目标进行比较，以计算误差。然后，误差通过网络反向传播，根据链式规则，将误差分配给每个神经元，并根据误差调整权重，以减小误差。这个过程重复进行多次，直到误差收敛到满意的水平或达到预定的训练轮次。其公式如下：
Δ
w
k
j
(
2
)
=
−
η
∂
E
∂
w
k
j
(
2
)
\Delta w_{kj}^{(2)}=-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{kj}^{(2)}}
Δwkj(2)=−η∂wkj(2)∂E
Δ
w
j
i
(
1
)
=
−
η
∂
E
∂
w
j
i
(
1
)
\Delta w_{ji}^{(1)}=-\eta \frac{\partial E}{\partial w_{ji}^{(1)}}
Δwji(1)=−η∂wji(1)∂E 其中，其中，𝜂是学习率，∂𝐸，∂𝑤表示误差关于权重的偏导数。误差计算中通常使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）作为误差函数：
E
=
1
2
∑
k
=
1
p
(
t
k
−
α
k
)
2
E=\frac12\sum_{k=1}^p(t_k-\alpha_k)^2
E=21k=1∑p(tk−αk)2 其中，
t
k
t_k
tk是目标输入，
α
k
\alpha_k
αk是网络的实际输出。
BP神经网络结构：
代码
多层感知机实际上就是多层全连接网络构成的网络，一个示例代码：
import tensorflow as tf
from tensorflow import keras
# 定义模型
model = keras.Sequential([
keras.layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(X.shape[1],)),
keras.layers.Dense(32, activation='sigmoid'),
keras.layers.Dense(1, activation='sigmoid')
])
# model.compile(optimizer='adam', loss='binary_crossentropy', metrics=['accuracy'])
# model.fit(X_train, Y_train, epochs=100, batch_size=32, validation_split=0.05)
# odel = keras.Sequential([
# keras.layers.Dense(128, activation='relu', input_shape=(X.shape[1],)),
# keras.layers.Dense(64, activation='sigmoid'),
# keras.layers.Dense(32, activation='relu'),
# keras.layers.Dense(16, activation='sigmoid'),
# keras.layers.Dense(8, activation='relu'),
# keras.layers.Dense(1, activation='sigmoid')
# ])
model.compile(optimizer='adam', loss='binary_crossentropy', metrics=['accuracy'])
# 模型训练
history=model.fit(X_train, Y_train, epochs=60, batch_size=32, validation_split=0.5)
# 模型评估
test_loss, test_accuracy = model.evaluate(X_test, Y_test)
print(f'Test accuracy: {test_accuracy}')
# 使用表1的所有行进行水肿概率的预测
# all_predictions = model.predict(X2)
# all_predictions
