单调队列优化DP问题

news2025/3/11 12:45:39

目录

1.滑动窗口

2.最大子序和

3.旅行问题

4.烽火传递

5.绿色通道

6.修剪草坪

7.理想的正方形

1.滑动窗口

154.给定一个大小为 n≤106 的数组。

有一个大小为 k 的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 k 个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k 为 33。

窗口位置最小值最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7-13
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7-33
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7-35
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7-35
1 3 -1 -3 [5 3 6] 736
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]37

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数 n 和 k，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有 n 个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

#include<iostream>
#include<algorithm>
​
using namespace std;
​
const int N = 1000010;
​
int n, k;
int a[N], q[N];
​
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 0;i < n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    
    int tt = -1, hh = 0;
    for(int i = 0;i < n; i++)
    {
        if(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
        while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt--;
        
        q[++tt] = i;
        if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    
    tt = -1, hh = 0;
    for(int i = 0;i < n; i++)
    {
        if(hh <= tt && q[hh] < i - k + 1) hh++;
        while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt--;
        
        q[++tt] = i;
        if(i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    
    return 0;
}

2.最大子序和

输入一个长度为 n 的整数序列，从中找出一段长度不超过 m 的连续子序列，使得子序列中所有数的和最大。

注意： 子序列的长度至少是 1。

输入格式

第一行输入两个整数 n,m。

第二行输入 n 个数，代表长度为 n 的整数序列。

同一行数之间用空格隔开。

闫氏最优化问题分析法

在一个有限集合中求最值，或者求个数。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
​
using namespace std;
​
const int N = 300010;
​
int n, m;
int s[N], q[N];
​
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    int res = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        res = min(res, s[i] - s[i - 1]);
    }
    
    int hh = 0, tt = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        if(q[hh] < i - m) hh++;
        res = max(res, s[i] - s[q[hh]]);
        while(hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}

3.旅行问题

1088.John 打算驾驶一辆汽车周游一个环形公路。

公路上总共有 n 个车站，每站都有若干升汽油（有的站可能油量为零），每升油可以让汽车行驶一千米。

John 必须从某个车站出发，一直按顺时针（或逆时针）方向走遍所有的车站，并回到起点。

在一开始的时候，汽车内油量为零，John 每到一个车站就把该站所有的油都带上（起点站亦是如此），行驶过程中不能出现没有油的情况。

任务：判断以每个车站为起点能否按条件成功周游一周。

输入格式 第一行是一个整数 n，表示环形公路上的车站数；

接下来 n 行，每行两个整数 pi,di，分别表示表示第 i 号车站的存油量和第 i 号车站到 顺时针方向 下一站的距离。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
​
using namespace std;
​
const int N = 1e6 + 10;
​
typedef long long LL;
​
int n;
int p[N], d[N];
LL s[N];
int q[N];
bool st[N];
​
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        scanf("%d%d", &o[i], &d[i]);
    
    //顺时针链
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        s[i] = s[i + 1] = o[i] - d[i];
    for(int i = 1;i <= n * 2; i++)
        s[i] += s[i - 1];
    
    int hh = 0, tt = -1;
    for(int i = n * 2;i >= 1; i--)
    {
        if(hh <= tt && q[hh] > i + n) hh++;
        while(hh <= tt && s[q[tt]] >= s[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
        if(i <= n) 
        {
            if(s[q[hh]] >= s[i - 1])
                st[i] = true;
        }
    }
    
    //逆时针链
    d[0] = d[n];
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        s[i] = s[i + 1] = o[i] - d[i - 1];
    for(int i = 1;i <= 2 * n; i++)
        s[i] += s[i - 1];
    
    hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 1;i <= 2 * n; i++)
    {
        if(hh <= tt && q[hh] < i - n) hh++;
        if(i > n)
        {
            if(s[q[hh]] <= s[i])
                st[i - n] = true;
        }
        while(hh <= tt && s[q[tt]] <= s[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
    
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        if(st[i]) puts("TAK");
        else puts("NIE");
    
    return 0;
}

4.烽火传递

烽火台是重要的军事防御设施，一般建在交通要道或险要处。

一旦有军情发生，则白天用浓烟，晚上有火光传递军情。

在某两个城市之间有 n 座烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。

为了使情报准确传递，在连续 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。

现在输入 n,m 和每个烽火台的代价，请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。

输入格式 第一行是两个整数 n,m，具体含义见题目描述；

第二行 n 个整数表示每个烽火台的代价 ai。

在这里插入图片描述

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
​
using namespace std;
​
const int N = 200010;
​
int n, m;
int w[N];
int f[N];
int q[N];
​
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1;i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
    
    int hh = 0, tt = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        if(q[hh] < i - m) hh++;
        f[i] = f[q[hh]] + w[i];
        while(hh <= tt && f[q[tt]] >= f[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
    
    int res = 1e9;
    for(int i = n - m + 1;i <= n; i++)
        res = min(res, f[i]);
    
    return 0;
}

详细学习：模拟队列

5.绿色通道

高二数学《绿色通道》总共有 n 道题目要抄，编号 1,2,…,n，抄第 i 题要花 ai 分钟。

小 Y 决定只用不超过 t 分钟抄这个，因此必然有空着的题。

每道题要么不写，要么抄完，不能写一半。

下标连续的一些空题称为一个空题段，它的长度就是所包含的题目数。

这样应付自然会引起马老师的愤怒，最长的空题段越长，马老师越生气。

现在，小 Y 想知道他在这 t 分钟内写哪些题，才能够尽量减轻马老师的怒火。

由于小 Y 很聪明，你只要告诉他最长的空题段至少有多长就可以了，不需输出方案。

输入格式

第一行为两个整数 n，t。

第二行为 n 个整数，依次为 a1,a2,…,an。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
​
using namespace std;
​
const int N = 50010;
​
int n, m;
int q[N], f[N];
int w[N];
​
bool check(int limit)
{
    int hh = 0, tt = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        if(q[hh] < i - limit - 1) hh++;
        f[i] = f[q[hh]] + w[i];
        while(hh <= tt && f[q[tt]] >= f[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
    
    for(int i = n - limit;i <= n; i++)
        if(f[i] <= m)
            return true;
    
    return false;
}
    
​
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        scanf("%d", &w[i]);
    
    int l = 0, r = n;
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    
    printf("%d\n", r);
    return 0;
}

6.修剪草坪

1087.在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，FJ变得很懒，再也没有修剪过草坪。 现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，FJ希望能够再次夺冠。 然而，FJ的草坪非常脏乱，因此，FJ只能够让他的奶牛来完成这项工作。 FJ有N只排成一排的奶牛，编号为1到N。 每只奶牛的效率是不同的，奶牛i的效率为。 编号相邻的奶牛们很熟悉，如果FJ安排超过K只编号连续的奶牛，那么这些奶牛就会罢工去开派对。 因此，现在FJ需要你的帮助，找到最合理的安排方案并计算FJ可以得到的最大效率。 注意，方案需满足不能包含超过K只编号连续的奶牛。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
​
using namespace std;
​
typedef long long LL;
​
const int N = 100010;
​
int n, m;
LL s[N];
LL f[N];
int q[N];
​
LL g(int i)
{
    return f[i - 1] - s[i];
}
​
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        scanf("%lld", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    int hh = 0, tt = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        if(q[hh] < i - m) hh++;
        f[i] = max(f[i - 1], g(q[hh]) + s[i]);
        while(hh <= tt && g(q[tt]) <= g[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
    
    printf("%lld\n", f[n]);
    return 0;
}

440.道路问题（非常复杂）

7.理想的正方形

有一个a x b的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个n x n的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值之差最小。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
​
using namespace std;
​
const int N = 1010;
​
int n, m, k;
int w[N][N];
int row_max[N][N], col_max[N][N];
​
void get_min(int a[], int b[], int tot)
{
    int hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 1;i <= tot; i++)
    {
        if(hh <= tt && q[hh] <= i - k) hh++;
        while(hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
        b[i] = a[q[hh]];
    }
}
​
void get_max(int a[], int b[], int tot)
{
    int hh = 0, tt = -1;
    for(int i = 1;i <= tot; i++)
    {
        if(hh <= tt && q[hh] <= i - k) hh++;
        while(hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) tt--;
        q[++tt] = i;
        b[i] = a[q[hh]];
    }
}
​
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= m; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);
    
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        get_min(w[i], row_min[i], m);
        get_max(w[i], row_max[i], m);
    }
    
    int res = 1e9;
    int a[N], b[N], c[N];
    for(int i = k;i <= m; i++)
    {
        for(int j = 1;j <= n; j++) a[j] = row_min[j][i];
        get_min(a, b, n);
        
        for(int j = 1;j <= n; j++) a[j] = row_max[j][i];
        get_max(a, c, n);
        
        for(int j = k;j <= n; j++) res -= min(res, c[j] - b[j]);
    }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}

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