本专题主要是介绍几个比较经典的题目：

假设我们令f[i]为前i个的最长不下降子序列，我们会发现难以转移方程很难写（因为我们不知道最后一个数）。

于是，我们令f[i]为以i结尾的最长不下降子序列，这样子我们就可以得出

f[i]=max{f[j]+1}(a[j]<=a[i]&&j<i)

f[i]=1;

复杂度为n^2;用单调队列维护可nlogn;

下面给出用递归for循环代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100000],dp[100000];
deque<int> q;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[j]<=a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i]);
	cout<<ans;
} 

下面是用记忆化搜索实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100000],dp[100000];
deque<int> q;
int f(int x){
	if(dp[x]!=0) return dp[x];
	for(int i=1;i<=x-1;i++){
		if(a[i]<=a[x]) dp[x]=max(dp[x],f(i)+1);
	}
	return dp[x];
}
int main(){
	cin>>n;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	dp[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,f(i));
	}
	cout<<ans;
	
} 

接题：

我们设f[i][j]表示从i,j滑下的最长路径，易得：

f[i][j]=max{f[i-1][j]+1,f[i+1][j]+1,f[i][j+1]+1,f[i][j-1]+1}(a[i-1][j]<a[i][j],a[i+1][j]<a[i][j],a[i][j-1]<a[i][j],a[i][j+1]<a[i][j])

在实现上，for循环不知道某先f[i][j]，我们需要按从低到高的顺序求，比较麻烦。

于是我们用记忆化搜索。

下面是AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
int a[105][105],r,c,ans,dp[105][105];
int f(int i,int j){
	if(i<=0||j<=0||i>r||j>c) return 0;
	if(dp[i][j]!=0) return dp[i][j];
	if(a[i-1][j]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i-1,j)+1);
	if(a[i+1][j]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i+1,j)+1);
	if(a[i][j-1]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i,j-1)+1);
	if(a[i][j+1]<a[i][j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],f(i,j+1)+1);
	if(dp[i][j]==0) return dp[i][j]=1;
	else return dp[i][j];
}
signed main(){
	cin>>r>>c;
	for(int i=1;i<=r;i++){
		for(int j=1;j<=c;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=r;i++){
		for(int j=1;j<=r;j++){
			ans=max(ans,f(i,j));
		}
	}
	cout<<ans;
}