3.预备知识
目录
- 数据操作
- N维数组
- 创建数组
- 访问元素
- 数据预处理
- 读取数据集
- 处理缺失值
- 转换为张量格式
- 小结
- 练习
- 线性代数
- 标量
- 向量
- 矩阵
- 张量
- 张量算法的基本性质
- 降维
- 非降维求和
- 点积
- 矩阵-向量积
- 矩阵-矩阵乘法
- 范数
- 范数和目标
- 微积分
- 导数和微分
- 偏导数
- 梯度
- 链式法则
- 自动微分
- 一个简单的例子
- 非标量变量的反向传播
- 分离计算
- Python控制流的梯度计算
- 概率
- 基本概率论
- 概率论公理
- 随机变量
- 处理多个随机变量
- 联合概率
- 条件概率
- 贝叶斯定理
- 边际化
- 独立性
- 期望和方差
数据操作
为了能够完成各种数据操作，我们需要某种方法来存储和操作数据。
通常，我们需要做两件重要的事：（1）获取数据；（2）将数据读入计算机后对其进行处理。 如果没有某种方法来存储数据，那么获取数据是没有意义的。
ndarray.ipynb
N维数组
创建数组
访问元素
数据预处理
为了能用深度学习来解决现实世界的问题，我们经常从预处理原始数据开始， 而不是从那些准备好的张量格式数据开始。 在Python中常用的数据分析工具中，我们通常使用pandas软件包。 像庞大的Python生态系统中的许多其他扩展包一样，pandas可以与张量兼容。 本节我们将简要介绍使用pandas预处理原始数据，并将原始数据转换为张量格式的步骤。 后面的章节将介绍更多的数据预处理技术。
读取数据集
举一个例子，我们首先(创建一个人工数据集，并存储在CSV（逗号分隔值）文件)
../data/house_tiny.csv中。
以其他格式存储的数据也可以通过类似的方式进行处理。
下面我们将数据集按行写入CSV文件中。
import os
os.makedirs(os.path.join('..', 'data'), exist_ok=True)
data_file = os.path.join('..', 'data', 'house_tiny.csv')
with open(data_file, 'w') as f:
f.write('NumRooms,Alley,Price\n') # 列名
f.write('NA,Pave,127500\n') # 每行表示一个数据样本
f.write('2,NA,106000\n')
f.write('4,NA,178100\n')
f.write('NA,NA,140000\n')
要从创建的CSV文件中加载原始数据集，我们导入pandas包并调用read_csv函数。该数据集有四行三列。其中每行描述了房间数量（“NumRooms”）、巷子类型（“Alley”）和房屋价格（“Price”）。
# 如果没有安装pandas，只需取消对以下行的注释来安装pandas
# !pip install pandas
import pandas as pd
data = pd.read_csv(data_file)
print(data)
NumRooms Alley Price
0 NaN Pave 127500
1 2.0 NaN 106000
2 4.0 NaN 178100
3 NaN NaN 140000
处理缺失值
注意，“NaN”项代表缺失值。 为了处理缺失的数据，典型的方法包括_插值法_和_删除法_， 其中插值法用一个替代值弥补缺失值，而删除法则直接忽略缺失值。 在这里，我们将考虑插值法。
通过位置索引iloc，我们将data分成inputs和outputs， 其中前者为data的前两列，而后者为data的最后一列。
对于inputs中缺少的数值，我们用同一列的均值替换“NaN”项。
inputs, outputs = data.iloc[:, 0:2], data.iloc[:, 2]
# 把NaN值用均值填满
inputs = inputs.fillna(inputs.mean())
print(inputs)
NumRooms Alley
0 3.0 Pave
1 2.0 NaN
2 4.0 NaN
3 3.0 NaN
把所有的行和第一和第二列放入input，把所有行和最后一列放入output
对于inputs中的类别值或离散值，我们将“NaN”视为一个类别。
由于“巷子类型”（“Alley”）列只接受两种类型的类别值“Pave”和“NaN”， pandas可以自动将此列转换为两列“Alley_Pave”和“Alley_nan”。 巷子类型为“Pave”的行会将“Alley_Pave”的值设置为1，“Alley_nan”的值设置为0。 缺少巷子类型的行会将“Alley_Pave”和“Alley_nan”分别设置为0和1。
inputs = pd.get_dummies(inputs, dummy_na=True)
print(inputs)
NumRooms Alley_Pave Alley_nan
0 3.0 1 0
1 2.0 0 1
2 4.0 0 1
3 3.0 0 1
panda.get_dummies()方法
转换为张量格式
现在inputs和outputs中的所有条目都是数值类型，它们可以转换为张量格式。
import torch
X, y = torch.tensor(inputs.values), torch.tensor(outputs.values)
X, y
(tensor([[3., 1., 0.],
[2., 0., 1.],
[4., 0., 1.],
[3., 0., 1.]], dtype=torch.float64),
tensor([127500, 106000, 178100, 140000]))
小结
pandas软件包是Python中常用的数据分析工具中，pandas可以与张量兼容。- 用
pandas处理缺失的数据时，我们可根据情况选择用插值法和删除法。
练习
创建包含更多行和列的原始数据集。
- 删除缺失值最多的列。
- 将预处理后的数据集转换为张量格式。
线性代数
标量
严格来说，仅包含一个数值被称为_标量_（scalar）。
(标量由只有一个元素的张量表示)。 下面的代码将实例化两个标量，并执行一些熟悉的算术运算，即加法、乘法、除法和指数。
import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
x + y, x * y, x / y, x**y
(tensor([5.]), tensor([6.]), tensor([1.5000]), tensor([9.]))
向量
向量可以被视为标量值组成的列表。 这些标量值被称为向量的元素（element）或分量（component）。 当向量表示数据集中的样本时，它们的值具有一定的现实意义。 例如，如果我们正在训练一个模型来预测贷款违约风险，可能会将每个申请人与一个向量相关联， 其分量与其收入、工作年限、过往违约次数和其他因素相对应。 如果我们正在研究医院患者可能面临的心脏病发作风险，可能会用一个向量来表示每个患者， 其分量为最近的生命体征、胆固醇水平、每天运动时间等。
人们通过一维张量表示向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限制。
x = torch.arange(4)
x
tensor([0, 1, 2, 3])
我们可以使用下标来引用向量的任一元素，例如可以通过xi来引用第i个元素。 注意，元素xi是一个标量，所以我们在引用它时不会加粗。 大量文献认为列向量是向量的默认方向，在本书中也是如此。 在数学中，向量x可以写为：
x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , \mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array} \right] , x= x1x2⋮xn ,
其中x1,…,xn是向量的元素。在代码中，我们通过张量的索引来访问任一元素。
x[3]
# -----输出------
tensor(3)
向量只是一个数字数组，就像每个数组都有一个长度一样，每个向量也是如此。
在数学表示法中，如果我们想说一个向量
x
\mathbf{x}
x由
n
n
n个实值标量组成，
可以将其表示为
x
∈
R
n
\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n
x∈Rn。
向量的长度通常称为向量的维度（dimension）。
与普通的Python数组一样，我们可以通过调用Python的内置len()函数来[访问张量的长度]。
len(x)
# -----输出------
4
当用张量表示一个向量（只有一个轴）时，我们也可以通过.shape属性访问向量的长度。
形状（shape）是一个元素组，列出了张量沿每个轴的长度（维数）。
对于(只有一个轴的张量，形状只有一个元素。)
x.shape
# -----输出------
torch.Size([4])
请注意，维度（dimension）这个词在不同上下文时往往会有不同的含义，这经常会使人感到困惑。 为了清楚起见，我们在此明确一下： _向量_或_轴_的维度被用来表示_向量_或_轴_的长度，即向量或轴的元素数量。 然而，张量的维度用来表示张量具有的轴数。 在这个意义上，张量的某个轴的维数就是这个轴的长度。
矩阵
正如向量将标量从零阶推广到一阶，矩阵将向量从一阶推广到二阶。
矩阵, 我们通常用粗体、大写字母来表示 (例如, $ \mathbf{X} 、 、 、 \mathbf{Y} $ 和 Z \mathbf{Z} Z ), 在代码中表示为具有两个轴的张量。数学表示法使用 A ∈ R m × n \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} A∈Rm×n 来表示矩阵 A \mathbf{A} A, 其由 m 行和 n 列的实值标量组成。我们可以将任意矩阵$ \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n} $视为一个表格, 其中每个元素 a i j a_{i j} aij 属 于第 i 行第 j 列：$\\\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}\a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\\end{array}\right] .\\ 对于任意 对于任意 对于任意 \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{A} $的形状是 (m, n) 或 m × n m \times n m×n 。 当矩阵具有相同数量的行和列时, 其形状将变为正方形; 因此, 它被称为方阵 (square matrix)。
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
# -----输出------
tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])
我们可以通过行索引 ( i ) (i) (i) 和列索引 ( j ) (j) (j) 来访问矩阵中的标量元素 a i j a_{i j} aij, 例如$ [\mathbf{A}] KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 7: {i j} $̲\* 。如果没有给出矩阵 \*…_{i j}$ 来引用 [ A ] [\mathbf{A}] [A] i j {i j} ij* 。 为了表示起来简单, 只有在必要时才会将逗号揷入到单独的索引中, 例如 $ aKaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 13: _{2,3 j} $̲和 $[\mathbf{A}]{2 i-1,3}$ 。*
*当我们交换矩阵的行和列时, 结果称为矩阵的转置（transpose）。通常用 *$ \mathbf{a}^{\top} KaTeX parse error: Undefined control sequence: \* at position 1: \̲*̲来表示矩阵的转置, 如果 *\mathbf{B}=\mathbf{A}^{\top}KaTeX parse error: Undefined control sequence: \* at position 20: …对于任意 i 和 j, 都有 \̲*̲ b$$ {i j}=a{j i} $。因此, 在 (2.3.2).中的转置是一个形状为 n × m n \times m n×m 的矩阵:
A ⊤ = [ a 11 a 21 … a m 1 a 12 a 22 … a m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n … a m n ] \mathbf{A}^{\top}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{m 1} \\ a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{m 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \ldots & a_{m n}\end{array}\right] A⊤= a11a12⋮a1na21a22⋮a2n……⋱…am1am2⋮amn
现在在代码中访问矩阵的转置。
A.T
# -----输出------
tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],
[ 1, 5, 9, 13, 17],
[ 2, 6, 10, 14, 18],
[ 3, 7, 11, 15, 19]])
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
print(B)
B.T
# -----输出------
tensor([[1, 2, 3],
[2, 0, 4],
[3, 4, 5]])
tensor([[1, 2, 3],
[2, 0, 4],
[3, 4, 5]])
张量
就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构。 张量（本小节中的“张量”指代数对象）是描述具有任意数量轴的维数组的通用方法。
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X
# -----输出------
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
张量算法的基本性质
标量、向量、矩阵和任意数量轴的张量有一些实用的属性。 例如，从按元素操作的定义中可以注意到，任何按元素的一元运算都不会改变其操作数的形状。 同样，给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。 例如，将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B
# -----输出------
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]]),
tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
[ 8., 10., 12., 14.],
[16., 18., 20., 22.],
[24., 26., 28., 30.],
[32., 34., 36., 38.]]))
两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积
A ⊙ B = [ a 11 b 11 a 12 b 12 … a 1 n b 1 n a 21 b 21 a 22 b 22 … a 2 n b 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 b m 1 a m 2 b m 2 … a m n b m n ] \mathbf{A} \odot \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \ldots & a_{1 n} b_{1 n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \ldots & a_{2 n} b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} b_{m 1} & a_{m 2} b_{m 2} & \ldots & a_{m n} b_{m n}\end{array}\right] A⊙B= a11b11a21b21⋮am1bm1a12b12a22b22⋮am2bm2……⋱…a1nb1na2nb2n⋮amnbmn
A * B
# -----输出------
tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
[ 16., 25., 36., 49.],
[ 64., 81., 100., 121.],
[144., 169., 196., 225.],
[256., 289., 324., 361.]])
将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
# -----输出------
(tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13]],
[[14, 15, 16, 17],
[18, 19, 20, 21],
[22, 23, 24, 25]]]),
torch.Size([2, 3, 4]))
降维
可以对任意张量进行的一个有用的操作是计算其元素的和。
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
# -----输出------
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))
我们可以表示任意形状张量的元素和。
A.shape, A.sum()
# -----输出------
(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))
默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。 我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。 以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），可以在调用函数时指定axis=0。 由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入轴0的维数在输出形状中消失。
A = torch.arange(40).reshape(2, 5, 4)
print(A)
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
# -----输出------
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]],
[[20, 21, 22, 23],
[24, 25, 26, 27],
[28, 29, 30, 31],
[32, 33, 34, 35],
[36, 37, 38, 39]]])
(tensor([[20, 22, 24, 26],
[28, 30, 32, 34],
[36, 38, 40, 42],
[44, 46, 48, 50],
[52, 54, 56, 58]]),
torch.Size([5, 4]))
指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。因此，输入轴1的维数在输出形状中消失。
print(A)
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
# -----输出------
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]],
[[20, 21, 22, 23],
[24, 25, 26, 27],
[28, 29, 30, 31],
[32, 33, 34, 35],
[36, 37, 38, 39]]])
(tensor([[ 40, 45, 50, 55],
[140, 145, 150, 155]]),
torch.Size([2, 4]))
沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。
A.sum(axis=[0, 1, 2]) # 结果和A.sum()相同
# -----输出------
tensor(780)
一个与求和相关的量是平均值（mean或average）。 我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。 在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
A.mean(), A.sum() / A.numel()
# -----输出------
(tensor(9.5000), tensor(9.5000))
同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
# -----输出------
(tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))
非降维求和
但是，有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用。
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
# -----输出------
tensor([[ 6.],
[22.],
[38.],
[54.],
[70.]])
例如，由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以通过广播将A除以sum_A。
A / sum_A
# -----输出------
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
[0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
[0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
[0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
[0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
如果我们想沿某个轴计算A元素的累积总和， 比如axis=0（按行计算），可以调用cumsum函数。 此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。
A,A.cumsum(axis=0)
# -----输出------
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]]),
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 6., 8., 10.],
[12., 15., 18., 21.],
[24., 28., 32., 36.],
[40., 45., 50., 55.]]))
点积
另一个最基本的操作之一是点积。按对应元素相乘在求和，结果是一个标量
y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
# -----输出------
(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))
注意，我们可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积：
torch.sum(x * y)
# -----输出------
tensor(6.))
矩阵-向量积
现在我们知道如何计算点积，可以开始理解矩阵-向量积（matrix-vector product）
让我们将矩阵A用它的行向量表示：
A = [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a m ⊤ ] \mathbf{A}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}_{1}^{\top} \\ \mathbf{a}_{2}^{\top} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{m}^{\top}\end{array}\right] A= a1⊤a2⊤⋮am⊤
矩阵向量积Ax是一个长度为m的列向量
A x = [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a m ⊤ ] x = [ a 1 ⊤ x a 2 ⊤ x ⋮ a m ⊤ x ] \mathbf{A x}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}_{1}^{\top} \\ \mathbf{a}_{2}^{\top} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{m}^{\top}\end{array}\right] \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}_{1}^{\top} \mathbf{x} \\ \mathbf{a}_{2}^{\top} \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{m}^{\top} \mathbf{x}\end{array}\right] Ax= a1⊤a2⊤⋮am⊤ x= a1⊤xa2⊤x⋮am⊤x
在代码中使用张量表示矩阵-向量积，我们使用mv函数。 当我们为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时，会执行矩阵-向量积。 注意，A的列维数（沿轴1的长度）必须与x的维数（其长度）相同。
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)
# -----输出------
(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.]))
矩阵-矩阵乘法
C = A B = [ a 1 ⊤ a 2 ⊤ ⋮ a n ⊤ ] [ b 1 b 2 ⋯ b m ] = [ a 1 ⊤ b 1 a 1 ⊤ b 2 ⋯ a 1 ⊤ b m a 2 ⊤ b 1 a 2 ⊤ b 2 ⋯ a 2 ⊤ b m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n ⊤ b 1 a n ⊤ b 2 ⋯ a n ⊤ b m ] \mathbf{C}=\mathbf{A B}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{a}_{1}^{\top} \\ \mathbf{a}_{2}^{\top} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n}^{\top}\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}\mathbf{b}_{1} & \mathbf{b}_{2} & \cdots & \mathbf{b}_{m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\mathbf{a}_{1}^{\top} \mathbf{b}_{1} & \mathbf{a}_{1}^{\top} \mathbf{b}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{1}^{\top} \mathbf{b}_{m} \\ \mathbf{a}_{2}^{\top} \mathbf{b}_{1} & \mathbf{a}_{2}^{\top} \mathbf{b}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{2}^{\top} \mathbf{b}_{m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_{n}^{\top} \mathbf{b}_{1} & \mathbf{a}_{n}^{\top} \mathbf{b}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n}^{\top} \mathbf{b}_{m}\end{array}\right] C=AB= a1⊤a2⊤⋮an⊤ [b1b2⋯bm]= a1⊤b1a2⊤b1⋮an⊤b1a1⊤b2a2⊤b2⋮an⊤b2⋯⋯⋱⋯a1⊤bma2⊤bm⋮an⊤bm
在下面的代码中，我们在A和B上执行矩阵乘法。 这里的A是一个5行4列的矩阵，B是一个4行3列的矩阵。 两者相乘后，我们得到了一个5行3列的矩阵。
B = torch.ones(4, 3)
A,B,torch.mm(A, B)
# -----输出------
(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]]),
tensor([[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.]]),
tensor([[ 6., 6., 6.],
[22., 22., 22.],
[38., 38., 38.],
[54., 54., 54.],
[70., 70., 70.]]))
范数
线性代数中最有用的一些运算符是范数（norm）。 非正式地说，向量的范数是表示一个向量有多大。 这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-aXou0F6B-1672985011973)(image/image_nmHLyi276u.png)]
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
# -----输出------
tensor(5.)
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sAsjSaZ5-1672985011974)(image/image_CgTuBXJR7N.png)]
torch.abs(u).sum()
# -----输出------
tensor(7.)
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torch.norm(torch.ones((4, 9)))
# -----输出------
tensor(6.)
范数和目标
在深度学习中，我们经常试图解决优化问题： 最大化分配给观测数据的概率; 最小化预测和真实观测之间的距离。 用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。 目标，或许是深度学习算法最重要的组成部分（除了数据），通常被表达为范数。
微积分
在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。 通常情况下，变得更好意味着最小化一个_损失函数_（loss function）， 即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。 最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。 但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。 因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：
- 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
- 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。
导数和微分
# %matplotlib inline 可以在Ipython编译器里直接使用，功能是可以内嵌绘图，并且可以省略掉plt.show()这一步。
%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l
def f(x):
return 3 * x ** 2 - 4 * x
def numerical_lim(f, x, h):
return (f(x + h) - f(x)) / h
h = 0.1
for i in range(5):
print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
h *= 0.1
# -----输出------
h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003
为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用matplotlib， 这是一个Python中流行的绘图库。 要配置matplotlib生成图形的属性，我们需要定义几个函数。 在下面，use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。
注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。 因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。
def use_svg_display(): #@save
"""使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
我们定义set_figsize函数来设置图表大小。 注意，这里可以直接使用d2l.plt，因为导入语句 from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)): #@save
"""设置matplotlib的图表大小"""
use_svg_display()
d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。
#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
"""设置matplotlib的轴"""
axes.set_xlabel(xlabel)
axes.set_ylabel(ylabel)
axes.set_xscale(xscale)
axes.set_yscale(yscale)
axes.set_xlim(xlim)
axes.set_ylim(ylim)
if legend:
axes.legend(legend)
axes.grid()
通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线， 因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。
#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
"""绘制数据点"""
if legend is None:
legend = []
set_figsize(figsize)
axes = axes if axes else d2l.plt.gca()
# 如果X有一个轴，输出True
def has_one_axis(X):
return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
and not hasattr(X[0], "__len__"))
if has_one_axis(X):
X = [X]
if Y is None:
X, Y = [[]] * len(X), X
elif has_one_axis(Y):
Y = [Y]
if len(X) != len(Y):
X = X * len(Y)
axes.cla()
for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
if len(x):
axes.plot(x, y, fmt)
else:
axes.plot(y, fmt)
set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
现在我们可以绘制 u = f ( x ) u=f(x) u=f(x)函数及其在 x = 1 x=1 x=1处的切线 y = 2 x − 3 y=2x-3 y=2x−3， 其中系数2是切线的斜率。
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
偏导数
梯度
链式法则
自动微分
求导是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。 虽然求导的计算很简单，只需要一些基本的微积分。 但对于复杂的模型，手工进行更新是一件很痛苦的事情（而且经常容易出错）。
深度学习框架通过自动计算导数，即_自动微分_（automatic differentiation）来加快求导。 实际中，根据设计好的模型，系统会构建一个_计算图_（computational graph）， 来跟踪计算是哪些数据通过哪些操作组合起来产生输出。 自动微分使系统能够随后反向传播梯度。 这里，反向传播（backpropagate）意味着跟踪整个计算图，填充关于每个参数的偏导数。
一个简单的例子
作为一个演示例子，假设我们想对函数
y
=
2
x
⊤
x
y=2\mathbf{x}^{\top}\mathbf{x}
y=2x⊤x关于列向量x求导。 首先，我们创建变量x并为其分配一个初始值。
import torch
x = torch.arange(4.0)
x
# -----输出------
tensor([0., 1., 2., 3.])
在我们计算y关于x的梯度之前，需要一个地方来存储梯度。 重要的是，我们不会在每次对一个参数求导时都分配新的内存。 因为我们经常会成千上万次地更新相同的参数，每次都分配新的内存可能很快就会将内存耗尽。 注意，一个标量函数关于向量x的梯度是向量，并且与x具有相同的形状。
x.requires_grad_(True) # 等价于x=torch.arange(4.0,requires_grad=True)
x.grad # 默认值是None
现在计算y
y = 2 * torch.dot(x, x)
y
# -----输出------
tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)
x是一个长度为4的向量，计算x和x的点积，得到了我们赋值给y的标量输出。 接下来，通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度，并打印这些梯度。
y.backward()
x.grad
# -----输出------
tensor([ 0., 4., 8., 12.])
x.grad == 4 * x
# -----输出------
tensor([True, True, True, True])
现在计算x的另一个函数。
# 在默认情况下，PyTorch会累积梯度，我们需要清除之前的值
x.grad.zero_()
y = x.sum()
y.backward()
x.grad
# -----输出------
tensor([1., 1., 1., 1.])
非标量变量的反向传播
当y不是标量时，向量y关于向量x的导数的最自然解释是一个矩阵。 对于高阶和高维的y和x，求导的结果可以是一个高阶张量。
然而，虽然这些更奇特的对象确实出现在高级机器学习中（包括深度学习中）， 但当调用向量的反向计算时，我们通常会试图计算一批训练样本中每个组成部分的损失函数的导数。 这里，我们的目的不是计算微分矩阵，而是单独计算批量中每个样本的偏导数之和。
# 对非标量调用backward需要传入一个gradient参数，该参数指定微分函数关于self的梯度。
# 本例只想求偏导数的和，所以传递一个1的梯度是合适的
x.grad.zero_()
y = x * x
# 等价于y.backward(torch.ones(len(x)))
y.sum().backward()
x.grad
# -----输出------
tensor([0., 2., 4., 6.])
先求和在求导
分离计算
有时，我们希望将某些计算移动到记录的计算图之外。
例如，假设y是作为x的函数计算的，而z则是作为y和x的函数计算的。 想象一下，我们想计算z关于x的梯度，但由于某种原因，希望将y视为一个常数， 并且只考虑到x在y被计算后发挥的作用。
这里可以分离y来返回一个新变量u，该变量与y具有相同的值， 但丢弃计算图中如何计算y的任何信息。 换句话说，梯度不会向后流经u到x。 因此，下面的反向传播函数计算z=u*x关于x的偏导数，同时将u作为常数处理， 而不是z=x*x*x关于x的偏导数。
x.grad.zero_()
y = x * x
# u变成一个常数
u = y.detach()
z = u * x
z.sum().backward()
x.grad == u
# -----输出------
tensor([True, True, True, True])
由于记录了y的计算结果，我们可以随后在y上调用反向传播， 得到y=x*x关于的x的导数，即2*x。
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x
# -----输出------
tensor([True, True, True, True])
Python控制流的梯度计算
使用自动微分的一个好处是： 即使构建函数的计算图需要通过Python控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），我们仍然可以计算得到的变量的梯度。 在下面的代码中，while循环的迭代次数和if语句的结果都取决于输入a的值。
def f(a):
b = a * 2
while b.norm() < 1000:
b = b * 2
if b.sum() > 0:
c = b
else:
c = 100 * b
return c
让我们计算梯度。
a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()
我们现在可以分析上面定义的f函数。 请注意，它在其输入a中是分段线性的。 换言之，对于任何a，存在某个常量标量k，使得f(a)=k*a，其中k的值取决于输入a，因此可以用d/a验证梯度是否正确。
a.grad == d / a
# -----输出------
tensor(True)
概率
简单地说，机器学习就是做出预测。
基本概率论
假设我们掷骰子，想知道看到1的几率有多大，而不是看到另一个数字。 如果骰子是公平的，那么所有六个结果 1 , … , 6 {1,…,6} 1,…,6都有相同的可能发生， 因此我们可以说1发生的概率为16。
然而现实生活中，对于我们从工厂收到的真实骰子，我们需要检查它是否有瑕疵。 检查骰子的唯一方法是多次投掷并记录结果。 对于每个骰子，我们将观察到 1 , … , 6 {1,…,6} 1,…,6中的一个值。 对于每个值，一种自然的方法是将它出现的次数除以投掷的总次数， 即此_事件_（event）概率的_估计值_。 大数定律（law of large numbers）告诉我们： 随着投掷次数的增加，这个估计值会越来越接近真实的潜在概率。 让我们用代码试一试！
首先，我们导入必要的软件包。
%matplotlib inline
import torch
from torch.distributions import multinomial
from d2l import torch as d2l
在统计学中，我们把从概率分布中抽取样本的过程称为_抽样_（sampling）。 笼统来说，可以把**_分布_（distribution）看作对事件的概率分配**， 稍后我们将给出的更正式定义。 将概率分配给一些离散选择的分布称为_多项分布_（multinomial distribution）。
为了抽取一个样本，即掷骰子，我们只需传入一个概率向量。 输出是另一个相同长度的向量：它在索引i处的值是采样结果中i出现的次数。
fair_probs = torch.ones([6]) / 6
fair_probs,multinomial.Multinomial(1, fair_probs).sample()
# -----输出------
(tensor([0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1667, 0.1667]),
tensor([1., 0., 0., 0., 0., 0.]))
在估计一个骰子的公平性时，我们希望从同一分布中生成多个样本。 如果用Python的for循环来完成这个任务，速度会慢得惊人。 因此我们使用深度学习框架的函数同时抽取多个样本，得到我们想要的任意形状的独立样本数组。每次运行的结果都不同
multinomial.Multinomial(10, fair_probs).sample()
# -----输出------
tensor([0., 4., 0., 0., 4., 2.])
现在我们知道如何对骰子进行采样，我们可以模拟1000次投掷。 然后，我们可以统计1000次投掷后，每个数字被投中了多少次。 具体来说，我们计算相对频率，以作为真实概率的估计。
# 将结果存储为32位浮点数以进行除法
counts = multinomial.Multinomial(1000, fair_probs).sample()
counts / 1000 # 相对频率作为估计值
# -----输出------
tensor([0.1630, 0.1870, 0.1790, 0.1660, 0.1620, 0.1430])
因为我们是从一个公平的骰子中生成的数据，我们知道每个结果都有真实的概率 1 6 \frac{1}{6} 61， 大约是0.167，所以上面输出的估计值看起来不错。
我们也可以看到这些概率如何随着时间的推移收敛到真实概率。 让我们进行500组实验，每组抽取10个样本。
counts = multinomial.Multinomial(10, fair_probs).sample((500,))
cum_counts = counts.cumsum(dim=0)
estimates = cum_counts / cum_counts.sum(dim=1, keepdims=True)
d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
d2l.plt.plot(estimates[:, i].numpy(),
label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend();
每条实线对应于骰子的6个值中的一个，并给出骰子在每组实验后出现值的估计概率。 当我们通过更多的实验获得更多的数据时，这 6 条实体曲线向真实概率收敛。
概率论公理
随机变量
处理多个随机变量
很多时候，我们会考虑多个随机变量。 比如，我们可能需要对疾病和症状之间的关系进行建模。 给定一个疾病和一个症状，比如“流感”和“咳嗽”，以某个概率存在或不存在于某个患者身上。 我们需要估计这些概率以及概率之间的关系，以便我们可以运用我们的推断来实现更好的医疗服务。
再举一个更复杂的例子：图像包含数百万像素，因此有数百万个随机变量。 在许多情况下，图像会附带一个_标签_（label），标识图像中的对象。 我们也可以将标签视为一个随机变量。 我们甚至可以将所有元数据视为随机变量，例如位置、时间、光圈、焦距、ISO、对焦距离和相机类型。 所有这些都是联合发生的随机变量。 当我们处理多个随机变量时，会有若干个变量是我们感兴趣的。
联合概率
条件概率
贝叶斯定理
边际化
独立性
期望和方差
