4.4.1 数组的定义

数组：

按照一定格式排列起来的，具有相同类型的数据元素的集合。

一维数组：

若线性表中的数据元素为非结构的简单元素，则称为一维数组。
逻辑结构：线性结构，固定长度的线性表。
声明格式：数据类型变量名 [数组长度]，如：int A [20]，学过C的都知道，就不多赘述了。

二维数组：

若一维数组中的数据元素又是一维数组结构，则称为二维数组。
逻辑结构：
- 非线性结构：每一个数据元素既在一个行表中，又在一个列表中。
- 线性结构：该线性表的每个数据元素也是一个固定长度的线性表。
除了4个角落的元素之外，每个元素都有不止一个前趋和后继，比如说这里的 a11，在它所在的这一行有前趋 a10 和后继 a12，在它所在的这一列里，又有 a01 这个前趋和。。。这个后继（好吧图里没有，不过也没差）。
声明格式：数据类型变量名[行数][列数]，如 int A [3][4]，这样就定义了一个名为A的数组内每个元素都是 int 类型的三行四列的二维数组出来了。

数组特点：

结构固定，定以后，维数和维界不再改变。

数组基本操作：

除了结构的初始化和销毁之外，只有取元素合修改元素值的操作。
不会说有什么插入或者删除数组中的某个元素的操作。

n维数组的抽象数据类型

n 为数组的维数（1维数组、二维数组…）。
bi 为数组第 i 维的长度。
ji 为数组元素第 i 维的下标。

4.4.2 数组的顺序存储

数组特点：

结构固定，固定以后，维数和维界不再改变，所以比较适合采用顺序存储结构。

数组基本操作：

除了结构的初始化和销毁之外，只有取元素合修改元素值的操作。
不会说有什么插入或者删除数组中的某个元素的操作。

注意：

数组可以是多维的，但存储数据元素的内存单元地址是一维的，因此，在存储数据结构之前，需要解决将多维关系映射到一维关系的问题。

一维数组

例如：int a [5]，每个元素占用4个字节，假设a[0]存储在2000单元的位置，a[3] 应该在 2012 的位置上，2000 + （3 - 0）*4。

下标为 3 的元素前面有 3 个元素，如果是下标为 i 的元素，则前面有 i 个元素，第 i 个元素的位置应该是首元素的地址+i * 每个元素的大小——>LOC(i) = a + i * L 。

二维数组

假设一个 m 行 n 列的二维数组，每一行都有 n 个元素，每列都有 m 个元素。

这样一个二维数组可以看成是由若干行组成的，也可以看成是由若干列组成的。

二维数组有两种存储方式：

以行为主序（低下标优先）BASIC、COBOL 和 PASCAL
以列为主序（高下标优先）FORTRAN

以行序为主序

按照行来存储，存储完第一行之后再存储第二行，以此类推。
要查找某个元素的话就要找到对应的行列位置，如：第一行一列的元素就在[0][0]的位置，第二行第二列的元素就在下标为[1][1]的位置。

每一行都从第一个元素开始存储直到存储到下标为 n - 1 的位置然后就换下一行存储。第一行的首元素下表[0][0]，最后一行的首元素下标则是[m - 1][0]

以行序为主序的存储位置计算

设数组开始存储位置为LOC(0,0)，存储每个元素需要 L 个存储单元（字节）。
数组元素 a[i][j] 的存储位置是：LOC(i,j) = LOC(0,.0) + (n * i + j) * L

以列序为主序

按照列来存储，存储好一列之后再存储下一列。

先从第一列开始存，第一列的首元素存到最后一个元素的下标应该是 a[0][0]（首行首列），a[1][0]（二行一列）a[2][0]）（三行一列）以此类推直到 a[m - 1][0]（m行1列）。

4.4.3 特殊矩阵的压缩存储

矩阵

一个有 m * n 个元素排成的 m 行 n 列的表。
有时为了节省存储空间，可以对这类矩阵进行压缩存储。

在这里插入图片描述

压缩存储：

为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配空间。
如：相片的压缩之类的。

矩阵的常规存储：

将矩阵描述为一个二维数组。
特点：
- 可以对其元素进行随机存取。
- 矩阵运算非常简单，存储的密度为1（不需要额外的空间存放地址，分配100个字节的空间就能存储100字节的数据）。

适合压缩存储的矩阵：

值相同的元素很多且呈某种规律分布；零元素多。
如：对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵、稀疏矩阵等。

什么是稀疏矩阵

矩阵中非零元素的个数较少（一般小于 5%）
有 95% 以上的元素是零，不需要给这些元素分配空间，一下节省 95% 的空间。

对称矩阵

沿着对角线相等的矩阵就称为对称矩阵

特点:

在 n * n 的矩阵 a 中，满足如下性质：aij = aji (1 <= i,j <= n)。
比如说上图中 a[4][1] = a[1][4]

存储方式：

因为元素是按照对角线来存储的，另一半是一样的元素，不需要全部存，只存储下（或者上）三角（包括主对角线）的数据元素。

共占用 n(n + 1) / 2 ，项数 *（首项 + 末项）/ 2个元素空间。

对称矩阵的存储结构

对称矩阵上下三角中的元素数均为：n(n + 1) / 2。
可以以行序为主序将元素存放在一个一维数组 sa[n(n + 1) / 2]中。

下标用 k 来表示，第一行放1个元素进a[0]中，第二行放两个进a[1]，a[2]中，以此类推。

三角矩阵

以主对角线划分，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵是指矩阵下三角（不包含对角线）中的元素均为常数 C （所有值相等）或零的 n 阶矩阵，下三角矩阵与之相反。对三角矩阵进行压缩存储时，除了和对称矩阵一样，只存储上（下）三角中的元素之外，再加一个存储常数 C 的空间即可。

特点：

对角线以下（或以上）的数据元素（不包括对角线）全部为常数 C (所有值一样)。

存储方式：

重复元素 C 共享一个元素存储空间，总共占用 n(n + 1) / 2 + 1个元素空间：sa[1…n(n+1) / 2+1]。
上三角矩阵 sa[k] 和矩阵元 aij 之间的对应关系为

下三角矩阵 sa[k] 和矩阵元 aij 之间的对应关系为

对角矩阵（带状矩阵）

对角矩阵所有的非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，即除了主对角线上和直接在对角线上、下方若干条对角线上的元之外，所有其他的元素皆为零。

特点

在 n * n 的方阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中（只在对角线和对角线旁边有值），区域外的值全是 0 ，则称为对角矩阵。
常见的有三对角矩阵、五对角矩阵、七对角矩阵。
如：一个 7 * 7 的三对角矩阵，只有在三条对角线的范围内有值。再加两条有值的对角线就是五对角矩阵了，依次类推。

存储方式

为 0 的元素直接扔掉不存。
用二维数组的方式去存。

按对角线来存储，第一条对角线是 3385，则将3385存在二维数组的第一行，第二条对角线是 20612 则存在第二行，以此类推，以主对角线为0进行上下对称。这样一个原本需要36个存储空间的矩阵现在就只需要30个了。

稀疏矩阵

什么是稀疏矩阵

矩阵中非零元素的个数较少（一般小于 5%）
有 95% 以上的元素是零，不需要给这些元素分配空间，一下节省 95% 的空间。

在这样有42个元素的矩阵中非零元素只有8个，如果将零也存储起来，就非常浪费空间了，存储密度只有 19.05%左右。

存储方法：

三元组，每个非零元素由它所在的行列和它本身的值来确定，(i,j,aij)。，比如下图的第一个元素12，它的存储就是1行二列值12确定。

压缩存储原则：存各非零元素的值，行列位置和矩阵的行列数。
- 三元组的不同表示方法可以决定稀疏矩阵不同的压缩存储方法。

第0行表示存储的这个矩阵有几行几列几个非零元素，其余每行就是按顺序存储非零元素的行列值了。

还原稀疏矩阵

试还原出下列三元组所表示的系数矩阵。

第一行的 646 表示，原来的系数矩阵有 6行4列6个非零元素。
非零值按照 i 和 j 所代表的行列位置以及将value值存放到具体位置，如：第二行的 122 表示值为2的元素出现在1行2列的位置，其余同理。
其余所有位置全部补 0 。

三元组顺序表的优缺点

优点：非零元素在表中按行执行有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
缺点：缺点同样是因为按行处理的，导致不能随机存取。若按行号存取某一行中的非零元，则需要从头开始进行查找。这个时候就需要用到稀疏矩阵的链式存储结构：十字链表了。

十字链表

优点：能够灵活地插入因运算而产生的新的非零元素，删除因运算而产生的新的零元素，实现矩阵的各种运算。
在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示，该结点除了（row,col,value）以外，还要有两个域。
- right ：用于连接同一行中的下一个非零元素。
- down：用于连结同一列中的下一个非零元素。
十字链表中结点的结构示意图：