[JAVA数据结构] 二叉树

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为3
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：J、F、K、L...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推,, 上图为4层
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：F、G互为堂兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2. 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {

int value; // 树中存储的数据

Node ﬁrstChild; // 第一个孩子引用

Node nextBrother; // 下一个兄弟引用

}

(二) 二叉树

1. 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

如图:

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

这也是二叉树的五种基本形态

2. 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3. 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)(i>0)个结点
若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^(k) -1(k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

(1)若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

(2)若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

(3)若2i+2>n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

练习题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解释: n0 = n2 + 1 = 199+1=200

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

解释:完全二叉树中，有n2 = n0 - 1,再根据题设条件，得n0 + n1 + n2 = 2n

则可得：2n0 + n1 - 1 = 2n

完全二叉树中，n1只能为0或1，由于2n为偶数，故n1 = 1

因此，n0 = n

一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）

A 383

B 384

C 385

D 386

解释: n为奇数 n1=0 n0=（n+1）/2 n为偶数 n1=1 n0=n/2

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（B）

A 11

B 10

C 8

D 12

解释: 一个n层的完全二叉树最多有2^n-1个结点, 2^10 - 1 = 1023, 最少为512, 531在此区间内，故只有B满足

4. 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表（数组）存储二叉树。需要注意的是，顺序存储只适用于完全二叉树。换句话说，只有完全二叉树才可以使用顺序表存储。因此，如果我们想顺序存储普通二叉树，需要提前将普通二叉树转化为完全二叉树。

普通二叉树转完全二叉树的方法很简单，只需给二叉树额外添加一些节点，将其"拼凑"成完全二叉树即可。如图 1所示：

完全二叉树的顺序存储，仅需从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可。

二叉树的顺序存储，通过学习你会发现，其实二叉树并不适合用数组存储，因为并不是每个二叉树都是完全二叉树，普通二叉树使用顺序表存储或多或少会存在空间浪费的现象。

这时就有了链式存储, 如图

采用链式存储二叉树时，其节点结构由 3 部分构成, 如图 3：

指向左孩子节点的指针（Lchild）；
节点存储的数据（data）；
指向右孩子节点的指针（Rchild）

// 孩子表示法

class Node {

int val; // 数据域

Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树

Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树

}

5. 二叉树的遍历

(1) 前序遍历

若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）访问根结点
（2）先序遍历左子树
（3）先序遍历右子树

如图:

就是沿着顺序一个一个遍历打印

// 前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

(2)中序遍历

若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）中序遍历左子树
（2）访问根结点
（3）中序遍历右子树

如图:

(3)后序遍历

若二叉树为空，则空操作；否则：
（1）后序遍历左子树
（2）后序遍历右子树
（3）访问根结点

// 中序遍历
    void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

如图:

// 后序遍历
    void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

6. 二叉树的基本操作 - 模拟实现

import java.util.*;

public class BinaryTree {

    static class TreeNode {
        public char val;
        public TreeNode left;//左孩子的引用
        public TreeNode right;//右孩子的引用

        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    /**
     * 创建一棵二叉树 返回这棵树的根节点 ,为了下面能正常先是这样创建
     *
     * @return
     */
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = F;
        C.right = E;
        return A;
    }

    // 前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    // 中序遍历
    void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

    // 后序遍历
    void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

    public static int nodeSize;

    /**
     * 获取树中节点的个数：遍历思路
     */
    public static int count = 0;

    void size(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        count++;
        size(root.left);
        size(root.right);

    }

    /**
     * 获取节点的个数：子问题的思路
     *
     * @param root
     * @return
     */
    int size2(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        return size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
    }


    /*
     获取叶子节点的个数：遍历思路
     */
    public static int leafSize = 0;

    void getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        if (root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        getLeafNodeCount1(root.left);
        getLeafNodeCount1(root.right);
    }

    /*
     获取叶子节点的个数：子问题
     */
    int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;

        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);

    }

    /*
    获取第K层节点的个数
     */
    int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
        if (root == null) return 0;
        if (k - 1 == 0) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
    }

    /*
     获取二叉树的高度
     */
    int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        int left = getHeight(root.left);
        int right = getHeight(root.right);
        return left > right ? left + 1 : right + 1;
    }


    // 检测值为value的元素是否存在
    TreeNode find(TreeNode root, char val) {
        if (root == null) return null;
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode ret1 = find(root.left, val);
        if (ret1 != null) {
            return ret1;
        }
        TreeNode ret2 = find(root.right, val);
        if (ret2 != null) {
            return ret2;
        }
        return null;
    }

    //层序遍历
    void levelOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) return;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");
            if (cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }


    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) return true;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            //判断结点不为空,就把当前结点的左右孩子(null结点也要)加入队列中
            if (cur != null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            } else {
                break;
            }
        }
        //到这里还不空, 把为null的结点弹出,如果还有结点不为null的,证明不是完全二叉树
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.peek();
            if (cur != null) {
                return false;
            } else {
                queue.poll();
            }
        }
        return true;
    }

   }