基础数学(八)——期末考试复习

news2024/11/23 11:30:40

文章目录

        • 考试要求
        • 考试内容
        • 简单复习
          • 插值
          • 拟合和回归
          • 数值积分
          • 直接法
          • 迭代法
          • 非线性方程求根
          • 微分方程数值解
        • 去年考题
          • 第一题,插值(12分)
          • 第二题,回归和拟合
          • 第三题,数值积分
          • 第四题,线性方程组求解
          • 第五题,非线性
          • 第六题,微分方程求数值解
        • 总结

考试要求

  • 两个小时,开卷,可用计算器
  • 开卷:全开卷,可以多张A4纸,但是不能看电子版的资料
  • 范围:1-9章。
  • 题型:6个大题

考试内容

  • 有效数字
  • 根据条件做多项式插值和误差估计:
    • 一定是埃尔米特插值,能够写出插值多项式,以及相关误差。12分
  • 拟合和回归
    • 最小二乘做拟合,极大似然做回归
  • 数值积分:数值积分公式的构造和代数精度,给你一个不完整的数值积分公式,确定构造公式,然后确定代数精度。
    • N-C公式,只要求掌握梯形公式和simpson公式
    • 复化公式(一般是复化梯形公式(二等分)和复化Simpson公式)
    • 高斯公式(两个点的高斯公式)
  • 线性方程组:
    • LU分解(Doolittle分解),J方法和GS方法的计算:给你初值X0,你用对应方法迭代一次
    • 收敛性的判定
    • Richardson迭代,参数选取,对于任意初值都收敛的值,以及最优值得选取
  • 非线性方程求根:
    • 基本迭代法得构造,给出非线性方程,要能构造两种收敛格式,判断其收敛性并比较其收敛速度。
  • 微分方程的求解:
    • 解析解:给出一阶线性微分方程,要会用积分因子法或者分离变量法去求解析解
    • 数值解:显示欧拉,隐式欧拉和改进欧拉

简单复习

插值

给你一个包含导数插值点,然后能过够列出对应插值公式,可以用Lagrange插值或者Newton插值实现,但是一定是Hermite插值的类型,最后要能够估计误差。

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拟合和回归
  • 拟合:直接用线性最小二乘,要列清楚具体流程,一定要出现矩阵的转置乘以系数矩阵的那一步 。不用法方程进行求解。

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  • 回归:极大似然估计,说明情况后,写出对应的似然函数,求出似然函数的最大值点。
  • 需要说明:
    • 总体分布规律已知,随机项是零均值,同方差,正态分布的假设下,才能得到整体的分布规律是正态。
    • 分布参数未知
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数值积分
  • 公式构造:给你一个不完整的数值积分公式,如何选参数,使其具有尽可能高的代数精度,将被积函数一次带入x的零次方,一次方,二次方等,测试其满足条件的代数精度。
  • N-C公式:仅考n=1和n=2
  • 复化公式:仅考二等分的复化梯形公式和复化Simpson公式(少考)
  • 高斯公式:只靠两个点的Gauss公式
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直接法
  • 直接考Doolittle分解,先将A分解成单位下三角和上三角的乘积。
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迭代法
  • 三个基本迭代法,都考
  • 收敛性:记住使用严格对角占优性进行判定

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非线性方程求根
  • 仅考不动点迭代,要回判断收敛性和收敛速度。
  • 收敛性:只需要满足局部收敛,根的位置局部连续并且的导数的绝对值小于1
  • 如果给了一个初值,需要判断对初值是否收敛的。
  • 尤其是对于重根的处理,需要注意。
  • 构造两种,一种可以选择牛顿迭代。
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微分方程数值解
  • 解析解要会求:要会用积分因子法或者分离变量法去求解析解
  • 三种欧拉都会考到
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去年考题

  • 今年考题和去年类似,强烈建议把去年的题目做一遍。
第一题,插值(12分)

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  • 今年,四个插值条件改变了其他都是一样的。
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第二题,回归和拟合
  • 同去年,今年老师说就是换了一个表,弄清楚流程即可
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  • 今年,改变了表格,有可能会多一小问。
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第三题,数值积分
  • 不完整的数值积分公式,需要确定对应A1,A2和x1的值,使其代数精度尽可能高,并指出代数精度,需要注意定积分的范围。
  • 两个点的高斯公式,需要对区间进行定积分的替换,保证区间范围为【-1,1】
  • 牛顿科特斯公式,根据精度,确定需要几个点进行计算。

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  • 今年,改变了积分的公式和计算方式。

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第四题,线性方程组求解

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  • 第一小问,做doolittle分解,求解线性方程组,将A分解成单位下三角,一定要有这个过程,不然没有过程分。
  • 第二小问,从初值出发,分别用Jacobi迭代和G-S迭代一步。对角占优性和对称正定性的判断,重点在于一个对称矩阵是否为正定的。
  • 第三问,三个特征值求出来,三个特征值为7,5,1。根据结果进行判定α的结果。
  • 第四问,不考,今年没讲,所以分值会少一点
  • 注意:今年的题目,LU分解过程中,Y或者L或者U的过程可能是分数,需要在这些过程中保留分数的结果。尽量不要使用计算器,否则会越来越复杂,计算结果保留最简分数和根号。
  • 今年仅仅改变了线性方程组,前三问相同。

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第五题,非线性

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  • 重根计算,可以使用牛顿迭代,然后使用修改之后的牛顿迭代(乘以n),收敛速度更快。今年不一定考重根。
  • 今年仅仅改变了方程的区间。

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第六题,微分方程求数值解

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  • 第一问,求解析解
  • 第二问,算出了近似值,然后知道了准确值,来比较有效数字。判断两种方法的有效数字。
  • 今年仅仅修改了微分方程。

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总结

  • 今年是六道大题,题型和去年相似

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