目录
1.什么是树？（不深入，仅做了解）
2.树的表示方式
2.1孩子兄弟表示法（左孩子右兄弟）
2.2孩子表示法
2.3双亲表示法
3.什么是二叉树
4.二叉树分类
4.1满二叉树
4.2完全二叉树
4.3二叉搜索树（二叉查找树、二叉排序树）
4.4平衡二叉搜索树（AVL树）
5.二叉树的存储结构
6.二叉树性质
6.1若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点
6.2 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数（满二叉）是2^h- 1（等比数列求和）
6.3对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2 ＋1
（公式记住就好）
6.4 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = Log 2 （N + 1）（由2取对数可推）
7.二叉树性质相关选择题
7.1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）
7.2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）
7.3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B ）
8.二叉树链式结构的遍历
8.1深度优先遍历
8.2广度优先遍历
9.实现
9.1前序遍历的实现
9.2中序遍历的实现
9.3后序遍历的实现
9.4前中后序遍历有关的选择题
9.5层序遍历（广度优先遍历）的实现
10.有关二叉树的OJ题目
10.1 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
10.2 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）
10.3 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）
10.4 104. 二叉树的最大深度 - 力扣（LeetCode）
10.5110. 平衡二叉树 - 力扣（LeetCode）
1.什么是树？（不深入，仅做了解）
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点，除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的。
A为根节点，#为NULL，D、E为叶节点。
判断下面的是不是树？
注意这个是非树，需要知道树的性质：
1.每个节点（除根节点外）有且只有一个父节点
2.子树之间不相连
3.一颗n节点的树有n-1条边
4.0节点为空树
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B 的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节 点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；（也有根为第0层的说法）
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林。
2.树的表示方式
2.1孩子兄弟表示法（左孩子右兄弟）
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子节点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟节点
DataType _data; // 节点数据域
}; 
2.2孩子表示法
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _Child1; // 第1个孩子节点
struct Node* _Child2; // 第2个孩子节点
struct Node* _Child3; // 第3个孩子节点
struct Node* _Child4; // 第4个孩子节点
//...(可能有很多个孩子节点)
};
有很多孩子节点就不适用了，一般用于二叉树。
2.3双亲表示法
typedef int DataType;
#define MAXX 100
//树的节点
typedef struct ParentTreeNode
{
DataType data;
int parent;
}PTNode;
//树的定义
typedef struct ParentTree
{
PTNode arr[MAXX];//数组结构
int num;//节点数
}PTree;
3.什么是二叉树
二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
特点：
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
4.二叉树分类
4.1满二叉树
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值（2个），则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1（计算等会讲） ，则它就是满二叉树。
4.2完全二叉树
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。除了底层节点可能没填满，其他层每个节点的度都为二叉树最大（2个），并且底层的节点都集中在底层靠左边若干位置（不靠左就不是），若底层为第h层，则最后一层可能有1~2^（h-1）个节点。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
4.3二叉搜索树（二叉查找树、二叉排序树）
二叉搜索树是有数值的，是一个有序树，每个节点满足下列规则：
1.若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于它的根节点的值；（别理解错了，好好理解一下）
2.若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值；
3.它的左右子树都为二叉搜索树；
总结：左小右大。
4.4平衡二叉搜索树（AVL树）
平衡二叉树又名为AVL树，它可以是空树，或者它的左右两个子树的高度（深度）差的绝对值（abs函数）不超过1，并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。
5.二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序存储（数组），一种链式存储（指针）
一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，所以一般使用链式存储的方式。
链式存储：
顺序存储（按照树的层次遍历顺序来存储节点）：
6.二叉树性质
6.1若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点
6.2 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数（满二叉）是2^h- 1（等比数列求和）
6.3对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2 ＋1
（公式记住就好）
6.4 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = Log 2 （N + 1）（由2取对数可推）
7.二叉树性质相关选择题
7.1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）
A 不存在这样的二叉树 B 200 C 198 D 199
解析：性质6.3秒了
7.2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A ）
A n B n+1 C n-1 D n/2
解析：
7.3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B ）
A 11 B 10 C 8 D 12
解析：由题意知道是完全二叉树，估算一下2^9 - 1== 512(满二叉树9层节点数)，那么531就要排到10层了，所以B。
8.二叉树链式结构的遍历
二叉树主要有两种遍历方式：深度优先遍历，广度优先遍历。
8.1深度优先遍历
先往深度遍历，遇到子节点时再往回遍历，深度优先遍历又分为 前序遍历（NLR）、中序遍历（LNR）、后序遍历（LRN），N-根，L-根的左子树，R-根的右子树，根节点是必定访问的，所以顺序是根据根节点的访问顺序命名的。
8.2广度优先遍历
设二叉树的 根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问 树的结点的过程就是层序遍历。
9.实现
9.1前序遍历的实现
#include<stdio.h>
typedef int DataType;
//树节点
typedef struct TreeNode
{
DataType data;//数据域
struct TreeNode* left;//左子树
struct TreeNode* right;//右子树
}TN;
//构建树
void CreatTree(TN* tree, TN* lefttree, TN* righttree,DataType x)
{
tree->data = x;
tree->left = lefttree;//连接左树
tree->right = righttree;//连接右树
}
//前序遍历//递归实现
void PrefaceTraversal(TN* tree)
{
if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点
{
printf("NULL ");
return;
}
printf("%d ", tree->data);//访问根节点
PrefaceTraversal(tree->left);//访问左子树
PrefaceTraversal(tree->right);//访问右子树
}
int main()
{
//搭建一颗树
TN tree1,tree2,tree3,tree4,tree5,tree6,tree7;
CreatTree(&tree1, &tree2, &tree3, 1);
CreatTree(&tree2, &tree4, &tree5, 2);
CreatTree(&tree3, &tree6, &tree7, 3);
CreatTree(&tree4, NULL, NULL, 4);
CreatTree(&tree5, NULL, NULL, 5);
CreatTree(&tree6, NULL, NULL, 6);
CreatTree(&tree7, NULL, NULL, 7);
PrefaceTraversal(&tree1);//访问
return 0;
} 
9.2中序遍历的实现
//中序遍历//递归实现
void MidTraversal(TN* tree)
{
if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点
{
printf("NULL ");
return;
}
MidTraversal(tree->left);//访问左子树
printf("%d ", tree->data);//访问根节点
MidTraversal(tree->right);//访问右子树
}
9.3后序遍历的实现
//后序遍历//递归实现
void PosTraversal(TN* tree)
{
if (tree == NULL)//临界条件--叶子节点
{
printf("NULL ");
return;
}
PosTraversal(tree->left);//访问左子树
PosTraversal(tree->right);//访问右子树
printf("%d ", tree->data);//访问根节点
}
9.4前中后序遍历有关的选择题
解析：前序和后序可以确定根节点（包括子树的根节点），中序可以根据前面分开的根节点确定左子树和右子树。
9.5层序遍历（广度优先遍历）的实现
实现原理：使用队列，先进先出；
核心思想：上一层带下一层；
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
typedef int DataType;
typedef struct TreeNode* QDataType;
//树节点
typedef struct TreeNode
{
DataType data;//数据域
struct TreeNode* left;//左子树
struct TreeNode* right;//右子树
}TN;
//构建树
void CreatTree(TN* tree, TN* lefttree, TN* righttree, DataType x)
{
tree->data = x;
tree->left = lefttree;//连接左树
tree->right = righttree;//连接右树
}
//队列节点
typedef struct QueueNode
{
//指向下一个
struct QueueNode* next;
//数据域
QDataType data;//这里数据是树的结构体指针
}QN;
//队列
typedef struct Queue
{
//记录头节点
QN* head;
//记录尾节点
QN* tail;
}Queue;
//初始化队列
void QueueInit(Queue* q)
{
assert(q);
q->head = q->tail = NULL;
}
//入队列--尾插
void QueuePush(Queue* q, QDataType tree)
{
assert(q);
QN* newnode = (QN*)malloc(sizeof(QN));
if (newnode == NULL)//开辟失败
{
perror("malloc fail");
exit(-1);
}
//队列为空
if (q->head == NULL)
{
q->head = q->tail = newnode;
newnode->data = tree;
newnode->next = NULL;
}
//队列不为空
else
{
q->tail->next = newnode;
newnode->data = tree;
newnode->next = NULL;
q->tail = newnode;
}
}
//出队列--头删
void QueuePop(Queue* q)
{
assert(q);
//队列为空不能删
assert(q->head);
//只有一个节点的情况
if (q->head->next == NULL)
{
free(q->head);
q->head = q->tail = NULL;
return;
}
//队列多个节点
QN* temp = q->head->next;
free(q->head);
q->head = temp;
}
//判断队列是否为空
bool QueueEmpty(Queue* q)
{
assert(q);
//空为真
return q->head == NULL;
}
//访问队头
QDataType QueueFront(Queue* q)
{
assert(q);
//空不能访问
assert(q->head);
return q->head->data;
}
//销毁
void QueueDestroy(Queue* q)
{
assert(q);
QN* pcur = q->head;
//循环遍历
while (pcur)
{
QN* temp = pcur->next;
free(pcur);
pcur = temp;
}
//置空
q->head = q->tail = NULL;
}
//层序遍历
void LevelTraversal(TN* tree)
{
Queue q;
QueueInit(&q);
if (tree)
{
QueuePush(&q, tree);
}
while (!QueueEmpty(&q))
{
TN* front = QueueFront(&q);
QueuePop(&q);
printf("%d ", front->data);
if (front->left)
{
QueuePush(&q, front->left);
}
if (front->right)
{
QueuePush(&q, front->right);
}
}
printf("\n");
QueueDestroy(&q);
}
int main()
{
//搭建一颗树
TN tree1, tree2, tree3, tree4, tree5, tree6, tree7;
CreatTree(&tree1, &tree2, &tree3, 1);
CreatTree(&tree2, &tree4, &tree5, 2);
CreatTree(&tree3, &tree6, &tree7, 3);
CreatTree(&tree4, NULL, NULL, 4);
CreatTree(&tree5, NULL, NULL, 5);
CreatTree(&tree6, NULL, NULL, 6);
CreatTree(&tree7, NULL, NULL, 7);
LevelTraversal(&tree1);//访问
return 0;
}
10.有关二叉树的OJ题目
10.1 144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
/**
* Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
*/
//统计节点个数
int TreeSize(struct TreeNode* root){
return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}
//前序遍历
void prevorder(struct TreeNode* root,int* a, int* pi)
{
if(root == NULL)
return;
a[*pi] = (root->val);
(*pi)++;
prevorder(root->left,a,pi);
prevorder(root->right,a,pi);
}
int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize) {
//创建数组
int size = TreeSize(root);
int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * size);
int i = 0;
prevorder(root,arr,&i);
*returnSize = size;
return arr;
}10.2 94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）
10.3 145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）
上面两道做法跟10.1一样
10.4 104. 二叉树的最大深度 - 力扣（LeetCode）
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
int maxDepth(struct TreeNode* root) {
if(root == NULL)
{
return 0;
}
int left = maxDepth(root->left);
int right = maxDepth(root->right);
return left > right ? left + 1 : right + 1;
}10.5110. 平衡二叉树 - 力扣（LeetCode）
/**
* Definition for a binary tree node.
* struct TreeNode {
* int val;
* struct TreeNode *left;
* struct TreeNode *right;
* };
*/
//深度
int MaxDepth(struct TreeNode* root)
{
if(root == NULL)
return 0;
int left = MaxDepth(root->left);
int right = MaxDepth(root->right);
return left > right ? left + 1 : right + 1;
}
bool isBalanced(struct TreeNode* root) {
if(root == NULL)
return true;
int left = MaxDepth(root->left);
int right = MaxDepth(root->right);
if(abs(left - right) < 2 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right))//要判断子树本身是否是平衡二叉树
return true;
else
return false;
}
