一、根据概念进行枚举
1、判断质数的枚举算法
根据概念:除了1和它本身以外没有其他约数的数为质数
//输入一个数n，判断n是不是质数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;
//根据概念:除了1和它本身以外没有其他约数的数为质数
bool flag=1;
for(int i=2;i<n;i++)
if(n%i==0){
flag=0;
break;
}
if(flag) cout<<"YES";
else cout<<"NO";
return 0;
}2、枚举的范围进行优化
如果n有约数，则n的约数是成对存在的，一个小于,另外一个则大于
，可以举例理解，对于一个1~
的约数，则有一个
~n的约数与之对应，所以判断n有没有约数只要判断前面1~
的范围的即可，时间复杂度为O(
)
//输入一个数n，判断n是不是质数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;
bool flag=1;
for(int i=2;i*i<n;i++) //枚举方式进行优化
if(n%i==0){
flag=0;
break;
}
if(flag) cout<<"YES";
else cout<<"NO";
return 0;
}二、朴素筛法
思路分析：
从2到n进行遍历，对于遍历到的数如果没有被筛掉，就说明该数是素数。然后每次把遍历到的数i的倍数都筛去。为什么说这个方案可以筛出质数可行呢？因为对于一个数p，它如果没有被筛掉，就说明其不是前面2~p-1的倍数，也就是说2~p-1不存在p的约数，这不就是素数的定义！
代码实现：
//输入一个数n，输出1-n中质数的个数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
bool st[N];
int prime[N],idx;
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!st[i]) prime[++idx]=i;
//用i筛掉后面i的倍数
for(int j=i*2;j<=n;j+=i) st[j]=true;
}
cout<<idx<<endl;
return 0;
}
时间复杂度分析
对于数i来说：
i=2,筛掉n/2-1个数 (因为i是从2*i个数开始的，i不会被不能重复筛掉，所有要减一)
i=3,筛掉n/3-1个数
i=4,筛掉n/4-1个数
.......
i=n,筛掉n/n-1个数
循环次数为：
对于是一个调和级数，其值等于
，带入上述公式结果为：
n*()-n+1=n*(
-1)+1
去掉常数项，总的时间复杂度为O(n),等价于O(nlogn)
三、埃氏筛法
思路分析：
根据通过质数去把所有合数都删掉的思路，可以优化方一的普通筛法。（因为合数都可以以质数的乘积形式获得）
代码实现：
//输入n，输出1~n中质数的个数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
bool st[N];
int prime[N],idx;
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=2;i<n;i++){
if(!st[i]) prime[++idx]=i;
else continue;
//用i筛掉后面i的倍数
for(int j=i*2;j<=n;j+=i) st[j]=true;
}
cout<<idx<<endl;
return 0;
}时间复杂度分析：O(nloglogn)
四、线性筛法
思路分析：
线性筛法的核心思路就是每个数只会被其最小质因子筛掉，因为每个数只有一个最小质因子，所以每个数都只会被删一次，所以是线性的。
代码实现：
//输入n，输出1~n中质数的个数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
bool st[N];
int prime[N],idx;
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!st[i]) prime[++idx]=i;
for(int j=1;prime[j]*i<=n;j++){
st[i*prime[j]]=true;
//如果prime[j]是i的一个质因子,那么i乘以任何一个数的乘积都包含质因子prime[j]
//如果继续筛下去对于k=i*prime[j+1],prime[j+1]肯定大于prime[j],使用prime[j+1]筛选k
//而不是使用prime[j]筛选k，与线性筛的要求不符
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
cout<<idx<<endl;
return 0;
}时间复杂度分析：O(n)
因为每个合数的最小质因子只有一个，所以每个数只会被筛掉一次，所以时间复杂度为O(n)
